ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Основное положение представления формы и положения поверхностей. Применение и плоскости из "Начертательная геометрия " Среди бесконечного числа различных кривых поверхностей существуют такие, которые простираются лишь в конечной и ограниченной части пространства и проекции которых имеют конечные размеры по всем направлениям поверхность шара, например, относится к этому случаю. Площадь его проекции яа плоскость была бы равна площади круга того же радиуса, что и шар, и можно себе представить, что плоскость, на которую проектируется поверхность, — достаточно большого размера, чтобы эта проекция поместилась. Все цилиндрические поверхности не ограничены в том направлении, которое определяется прямой, служащей образующей. Самая плоскость, являющаяся наиболее простой из всех поверхностей, не ограничена в двух направлениях. Наконец, существует большое количество поверхностей, различные полы которых простираются одновременно во всех областях пространства. Однако плоскости, на которых строятся проекции, обладают, по необходимости, ограниченной протяженностью. Поэтому, если бы не было другого средства, чтобы познать природу кривой поверхности, кроме двух проекций каждой из ее точек, то этот способ был бы применим только к тем точкам поверхности, которые соответствуют протяженности плоскости проекций все те точки, которые не укладывались бы в эти пределы, не могли бы быть ни заданы, ни определены таким образом, метод был бы недостаточным. Наконец, он был бы и недостаточно плодотворным, потому что мы не могли бы сделать никаких выводов о плоскостях, касательных к поверхности, о нормалях, о двух кривизнах в каждой точке поверхности, о линиях перегиба, о ребрах возврата, о кратных линиях, кратных точках, словом, о всех свойствах, которые необходимо рассматривать в отношении кривой поверхности. [c.29] Приходится поэтому прибегать к другому принципу, который был бы совместим с первым и дополнял бы его везде, где он оказывается недостаточным. Перейдем к изложению этих новых положений. [c.30] Цилиндрические поверхности могут быть образованы в основном двумя способами или движением прямой линии, остающейся во все время движения параллельной некоторой заданной прямой, причем конец ее скользит по заданной кривой или же движением кривой, служившей направляющей в первом случае, которая движется таким образом, что одна точка скользит по заданной прямой, а все другие точки описывают линии, параллельные этой прямой. В обоих этих способах образования образующая линия — прямая в первом случае и любая кривая во втором — сохраняет постоянную форму она только изменяет свое положение в пространстве. [c.30] Конические поверхности также могут быть образованы в основном двумя способами. [c.30] Прежде всего их можно рассматривать как образованные движением неопределенной прямой, при всех положениях проходящей через данную точку, причем эта прямая при движении неизменно скользит по заданной кривой, направляющей ее движение. Точка, через которую всегда проходит прямая, есть центр поверхности ее неправильно называют вершиной. При этом способе образования поверхности образующая линия также сохраняет постоянную форму—она никогда не перестает быть прямой. [c.30] Конические поверхности могут быть образованы также и другим способом, который ради простоты мы применим здесь только к случаю круговых основани.4. Эти поверхности могут быть образованы движением окружности круга, происходящим Таким образом, что плоскость круга всегда остается параллельной самой себе и его центр всегда наход ся на прямой, проходящей через вершину, но радиус в каждый данный момент движения пропорционален расстоянию между центром круга и вершиной. Таким образом, когда при своем движении плоскость круга стремится приблизиться к вершине поверхности, радиус его уменьшается и обращается в нуль, если плоскость проходит через вершину, чтобы зьтем снова возрастать до бесконечности, когда плоскость, пройдя через вершину, постепенно удаляется от нее. [c.31] В этом втором способе образования окружность круга, являющаяся образующей кривой, не только изменяет свое положение, но в каждый момент движения изменяет и свою форму, так как она изменяет радиус, а следовательно, кривизну и размеры. [c.31] Приведем, наконец, третий пример. [c.31] Поверхность вращения может быть образована движением плоской крйвой, вращающейся вокруг прямой, как угодно расположенной в ее плоскости. В этом случае образующая кривая сохраняет постоянную форму, меняется только ее положение. Но поверхность вращения можно также рассматривать как образованную движением окружности круга, который движется таким образом, что его центр всегда лежит на оси, его плоскость перпендикулярна к ней, и радиус в каждый данный момент равен расстоянию от точки пересечения плоскости круга с осью до точки его пересечения с кривой, любым образом заданной в пространстве. В этом случае образующая кривая изменяет одновременно и форму и положение. [c.31] Таким образом, форма и положение кривой поверхности определяк тся нэ заданием ее отдельных точек, но построением в некоторой точке образующей кривой, согласно форме и положению, которые она должна иметь при прохождении через эгу точку. При этом нужно заметить 1) поскольку каждая кривая поверхность может быть образована бесконечным числом способов — от умения и проницательности чертежника зависит выбрать из всех возможных способов образования тот, при котором образующая кривая будет наиболее простой н который требует наименее утомительных рассуждений 2) долговременная практика показывает, что, вместо того чтобы рассматривать для каждой кривой поверхности лишь один из способов ее образования, что требовало бы изучения закона движения и изменения формы образующей, — во многих случаях значительно проще рассматривать одновременно двэ разные образующие и задать для каждой точки построение двух образующих кривых. [c.32] Таким образом, начертательная геометрия учит, что для определения формы и положения кривой поверхности достаточно дать способ построения горизонтальной и вертикальной проекций двух различных образующих, проходящих через любую точку этой поверхности, причем одна из проекций этой точки может быть выбрана произвольно. [c.32] положение плоскости определяется двумя прямыми линиями, любая из которых может считаться ее образующей. Положение этих двух прямых в образуемой ими плоскости абсолютно безразлично поэтому для метода проекции важно выбирать такие прямые, которые требуют наиболее простых построений. Поэтому в начертательной геометрии положение плоскости определяется заданием двух прямых, по которым она пересекает плоскости проекций. Легко понять, что эти две прямые должны встречать в одной и той же точке пересечение плоскостей проекций и что, следовательно, это и есть их точка пересечения. [c.33] Так как нам часто придется иметь дело с плоскостями, мы будем для краткости называть следами прямые, по которым каждая из этих плоскостей пересекает плоскости проекций и которые будут служить для определения ее положения. [c.33] Вернуться к основной статье