ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Раздел, первый Предмет начертательной геометрии из "Начертательная геометрия " Во-вторых, дать способ на основании точного изображения определять формы тел и выводить все закономерности, вытекающие из их формы и их взаимного расположения. [c.13] Сначала мы изложим полученные путем длительного опыта способы, составляющие содержание первой задачи затем дадим методы выполнения второй. [c.13] Поэтому для определения положения точки в пространстве необходимо относить это положение к некоторым другим элементам, отличным от частей заключающего их пространства, причем положение самих этих элементов должно быть известно как тому, который дает определение, так и тому, кто хочет его понять а для того чтобы самый способ мог стать удобным для применения, надо, чтобы эти элементы были сколь возможно просты и чтобы их положение было наиболее легко понятно. [c.14] Предположим сначала, что определение положения точки заключает в себе условие, что она находится на расстоянии одного метра от заданной точки А. [c.14] Предположим далее, что, согласно определению положения точки, она должна находиться на расстоянии двух метров от второй известной точки В очевидно, что повторяя подобные же рассуждения для втого второго условия, мы найдем, что эта точка должна также принадлежать поверхности второго шара с радиусом, равным двум метрам и с центром в точке В. Так как эта точка должна находиться одновременно как на поверхности первого, так и на поверхности второго шара, то она не отличима теперь только от тех точек, которые являются общими для обеих поверхностей и принадлежат их пересечению но из геометрии известно, что пересечение поверхностей двух шаров представляет собой окружность круга, центр которого лежит на прямой, соединяющей центры обоих шаров, и плоскость которого перпендикулярна этой прямой итак, в силу требований обоих этих условий, вместе взятых, искомая точка фактически отличается от других точек, лежащих на поверхностях обоих шаров, и не может отличаться только от точек окружности круга, единственно подчиненных обоим изложенным условиям. Поэтому, для того чтобы отличить искомую точку, нужно еще третье условие. [c.15] Мы видим, что, пользуясь для определения положения точки в пространстве ее расстояниями до других известных точек, число которых должно быть непременно три, мы оказываемся вовлеченными в рассуждения недостаточно простые, чтобы служить обоснованием для обычных методов. [c.16] Заметим сначала, что прямая линия никогда не должна рассматриваться ограниченной по длине, и что она может быть неопределенно продолжена в обоих направлениях. [c.16] Для простоты обозначим буквами А, В, С н т. д. прямые, которыми мы будем пользоваться. [c.16] Предположим также, что искомая точка должна, кроме того, находиться на расстоянии двух метров от второй прямой 5 подобным же образом мы убеждаемся в том, что точка при надлежит поверхности второго цилиндра с круговым основанием, осью которого служит прямая В, а радиус основания равен двум метрам она не отличима от других точек этой поверхности, если рассматривать только одно второе условие. Рассматривая совместно оба условия, мы видим, что точка должна находиться одновременно и на первой и на второй цилиндрических поверхностях итак, она может быть только одной из точек, общих обеим поверхностям, т. е. одной из точек их взаимного пересечения. Линия, на которой должна находиться точка, будет иметь кривизну поверхности первого цилиндра и кривизну поверхности второго и относится к типу тех, которые называются кривым I двоякой кривизны. [c.17] Чтобы отличить рассматриваемую точку от всех других, принадлежащих этой кривой, нужно третье условие. [c.17] Предположим, наконец, что, согласно определению, искомая точка лежит на расстоянии трех метров от третьей прямой С. [c.17] Мы видим, что рассухдення, с которыми мы встретились для определения положения точки в пространстве по известным расстояниям до трех заданных прямых, еще менее просты, чем рассуждения, вытекающие из условия расстояний до трех точек, и что они еще мелее могут служить обоснованием для методов, которыми можно было бы часто пользоваться. [c.18] Предположим, что в пространстве имеются не параллельные плоскости, положение которых известно и которые мы обозначим последовательно буквами А, В, С, О н т. д. [c.18] согласно определению положения точки, она находится на расстоянии, например, одного метра от плоскости А, без уточнения — с которой стороны от эгой пло. кости она помещается, то тем самым выражено, что она лежит в одной из плоскостей, параллельных плоско-ти А и расположенных соответственно по обе стороны от нее на расстоянии одного метра все точки на этих двух параллельных плоскостях удовлетворяют поставленному условию, и из всех точек пространства они являются единственными, ему удовлетворяющими. [c.18] Поэтому, чтобы отличить ту точку, положение которой мы хотим определить, от всех других точек на этих плоскостях, надо иметь еще другие условия. [c.18] мы видим, что хотя плоскость является более сложным геометрическим элементом с точки зрения числа своих измерений, чем прямая, имеющая только одно, или точка, совсем не имеющая измерений, однако плоскость дает возможность более простого определения положения точки в пространстве, нежели точка или прямая именно этим способом и пользуются обычно в применении алгебры к геометрии, где для нахождения положения точки принято определять ее расстояния до трех заданных плоскостей. [c.20] Если мы имеем в пространстве две заданные плоскости и нам даны на каждой из них проекции точки, положение которой должно быть определено, то тем самым эта точка будет вполне определена. [c.21] Действительно, если из проекции точки на первой плоскости восстановить перпендикуляр к этой плоскости, то очевидно, что он пройдет через данную точку подобным же образом, если из проекции точки на второй плоскооти восстановить к ней перпендикуляр, он также пройдет через данную точку следовательно, точка будет находиться одновременно на двух прямых, положение которых в пространстве известно она будет единственной точкой их пересечения, и тем самым она будет вполне определена. [c.21] Прямая аЬ, проходящая таким образом через проекции на плоскость ЬМНО всех точек другой прямой АВ, называется проекцией прямой АВ на эту плоскость. [c.21] Так как для определения положения прямой достаточно двух ее точек, то для построения проекции прямой достаточно построить таковые для двух ее точек, и прямая, проведенная через проекции этих точек, и будет искомой проекцией. [c.22] Вернуться к основной статье