ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод Галеркнна из "Метод конечных элементов для уравнений с частными производными " Этот метод часто связывают с именем Л. В. Канторовича (Канторович, 1933) он лежит в основе большинства конечно-элементных методов решения нестационарных задач, рассмотренных в гл. 6. В применении к краевым задачам метод Канторовича весьма похож на хорошо известный метод прямых (Березин и Жидков, 1962). [c.57] Это можно сделать, так как функции фг = , 2,. .., М) известны, а интегралы в (3.14) можно вычислить точно. Чтобы получить стационарную точку функционала 7(а1.а-м). [c.57] Полудискретный метод можно применять к задачам как с неоднородными граничными условиями Дирихле, так и с естественными раничными условиями. Процедура усложняется, когда функционал нужно дополнить интегралами по границе. [c.58] Вообще говоря, при решении краевых задач полудискретный метод эффективен только при условии, что получающаяся одномерная задача может быть решена непосредственно и точно. Несколько таких примеров есть у Эльсгольца (1958), с. 152. Применения к задачам с начальными данными имеют большее значение, и мы будем иметь с ними дело в гл. 6. [c.59] Используя теорему Грина (Курант и Гильберт, 1951, с. 241), это выражение можно получить (при определенных граничных условиях) из стандартной формы (3.18). [c.59] Использование интегрирования по частям — т. е. теоремы Грина — для преобразования функционала из стандартной формы (3.18) к такому виду, при котором требуется меньшая гладкость допустимых функций ы(х), является одной из основ успеха метода конечных элементов (Прентер, 1975, с. 229). [c.60] Пространство Ж содержит все измеримые допустимые функции, которые обращаются- в нуль на границе дЯ-, про такие функции иногда говорят, что они имеют компактный носитель. Пространство с Ж содержит только те допустимые функции, для которых А ю измерима. [c.60] Вариационное исчисление можно распространить на широкий класс задач, допускающих применение метода Галеркина. В предыдущей главе был получен формальный лагранжиан диссипативной системы путем рассмотрения сопряженной задачи. Если ищутся приближенные решения как основной, так и сопряженной задач, то аппроксимация Галеркина находится из условия стационарности этого лагранжиана. Фактически (3.24) возникает как необходимое условие стационарности лагранжиана. [c.63] Здесь следует подчеркнуть, что во всех вариантах метода Галеркина система уравнений получается без особых затруднений. [c.66] Если метод Галеркина следует из вариационного принци па, получаемого с помощью введения сопряженной задачи должно быть ясно, что, применяя метод, описанный в разд. 3.3 можно свести диссипативное уравнение с частными произвол ными к системе обыкновенных дифференциальных уравнений Такой подход имеет небольшую ценность для решения крае вых задач, и так как для задач с начальными данными нет ва риационной формулировки, мы не рассматриваем подробно этот метод. Следующее ниже упражнение предназначено читателям, интересующимся данным методом. [c.66] Имеется несколько алгоритмов решения систем уравнений с ленточными матрицами, эффективных и дешевых (т. е. дающих максимальную точность при минимуме времени и памяти), однако такие методы менее эффективны и значительно дороже в применении к задачам с блочно-ленточными матрицами. Цель метода ПНГ в методе конечных элементов та же, что и в методе переменных направлений в разностных схемах, а именно свести систему уравнений многомерной задачи к последовательности систем, по форме аналогичных системам уравнений, возникающих в одномерных задачах (Митчелл, 1967). [c.67] Для того чтобы применять метод ПНГ, необходимо предполагать, что базисные функции имеют форму тензорного произведения, т. е. [c.67] Дуглас и Дюпон показали, что при подходящем выборе последовательности параметров итераций 1 метод ПНГ оказывается быстро сходящимся. [c.68] Вернуться к основной статье