ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Ли Обобщение алгоритма асимптотической декомпозиции на из "Теоретико-групповой подход в асимптотических методах нелинейной механики " Более точно для компактных групп Ли справедлив следующий результат, известный под названием глобальная теорема . Приведем его формулировку, следуя работе [30, с. 114]. [c.235] Теорема 1.1. Компактная группа Ли обладает следующими свойствами. [c.235] Замечание 1.1. В рассматриваемом случае принадлежности функций / к классу аналитических (/ (G)) указанные ряды Фурье сходятся равномерно (см. [30, с. 116]). [c.235] Введем некоторые дополнительные предположения о характере возмущений в системе (1.1). [c.236] В дальнейшем будем считать, что система (1.1) является правильно возмущенной. [c.236] Здесь = и, I 2,— известная функция от операторов О, 11, 81,. .., 8 1 (см. 1 гл. 3). [c.236] Описанная методика будет верна для второго и высших приближений, если правые части Р уравнений (1.29) при г 2 удовлетворяют условию 1 определения 1.1. [c.240] Так как на каждом шаге выполняется конечное число операций вычисления скобок Пуассона, то условие (1.10) принадлежности коэффициентов j (х) в (1.31) гильбертову пространству также выполняется. [c.241] К которой, естественно, применимы теоремы 2.1 и 2.2 гл. 3, упрощающие ее интегрирование. Здесь этот вопрос подробно не обсуждается. [c.241] Здесь для функций возмущения условно приняты те же обозначения, что и в исходной системе. Оператор Y группы (1.34) в новых переменных имеет особенно простую форму Y d/dq . Как показано в работе [80], неприводимые представления группы SO (2) имеют вид / (ф) = е , п 6 Z, а разложение по группе SO (2) представляет собой разложение в обычный ряд Фурье по тригонометрическим функциям. Как нетрудно проверить непосредственными вычислениями, общим элементом алгебры централизатора SSq, соответствующей системе (1.37), является оператор Z = i (р) —t- V - ф, где F (р) произвольная анали-Ф / (PJ рр тическая функция. [c.242] Согласно предположению о том, что исходная система является правильно возмущенной, коэффициенты by (р, ф), Ь (р, ф) разлагаются в ряды Фурье по ф. [c.242] Предположение о правильности возмущения системы (1.42) сводится к предпо-лошению о периодической зависимости функций (р, ф,), Р (р, ф) от переменной ф. [c.243] Следовательно, метод асимптотической декомпозиции в рассматриваемом случае приводит к системе, получаемой по методу усреднения Н. И Боголюбова. [c.244] Применим к системе (1.43) алгоритм асимптотической декомпозиции, ограничиваясь вычислением первого приближения. Разложим оператор и = / 1 (р, ф) 5/5р + Р (р, ф) по базису г1, Ъ . [c.244] В настоящем параграфе метод асимптотической декомпозиции применяется к дифференциальным системам, нулевое приближение которых порождает конечномерную группу Ли. Использование пространства представления этой группы позволяет свести все алгоритмы метода к простейшим задачам линейной алгебры. [c.245] Оператору 11о (2.19) соответствует централизованная система (2.16), причем [и, Nv] = О, V = 1, 2,. .. [c.248] Таким образом, установлено следующее утверждение. [c.249] Следствие 2.1. Решение операторного уравнения (2.25) равносильно решению линейной алгебраической системы (2.29). [c.249] Таким образом, после нахождения в явном виде операторов рг Fv, V = 1, 2,. .., определяется централизованная система (см. формулы (2.18), (2.19)). [c.250] Вернуться к основной статье