ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Ван-дер-Поля Асимптотическая декомпозиция дифференциальных систем из "Теоретико-групповой подход в асимптотических методах нелинейной механики " Рассмотрим уравнение (3.3), определяющее ядро преобразования Только при г = 1 эта система всегда имеет по меньшей мере к независимых решений (напомним, что Л является матрицей простой структуры). [c.192] Если система (3.3) решений не имеет, то в разложении правой части (3.5) составляющая ISvjvr всегда тождественно равна нулю и, следовательно, оператор Nvt-, входящий в сумму (3.6), также тождественно равен нулю. [c.192] Определитель этой системы (определитель Грама) не равен нулю, и, следовательно, система (3.20) имеет единственное решение. [c.192] Теорема 3.1. Нахождение проекции оператора prFv=Nvi + +. .. + Nvg от правых частей уравнений (2.1) сводится к решению последовательности gv независимых между собой систем неоднородных алгебраических уравнений вида (3.10) или (3.11). Решение этих уравнений всегда существует и единственно. Оператор рг Fv не содержит составляющей Nvrj если однородное уравнение == О для определения матрицы коэффициентов имеет лишь тривиальное решение. [c.193] Таким образом, число собственных векторов оператора U в пространстве F gv определяется структурой матрицы представления у. [c.194] Прежде чем переходить к доказательству сформулированной теоремы, докажем одно вспомогательное утверждение. [c.194] Лемма 3.1. Матрица S v представления оператора U в подпространстве Fgiy (рассматриваемом над полем имеет простую структуру и ее собственные значения X определяются как К = Х т -Ь -Ь Кйтп, где К,. .., Кп — характеристические числа матрицы (среди них могут быть и кратные), т ,. .., т — целые положительные числа, для которых выполняется соотношение + пг = v (v — степень многочленов из подпространства V v). [c.194] Следствие 3.1. Если v ,. .., vu e y v — собственные векторы оператора и с собственными значениями Xj, где Xj — характеристические числа кратности г, матрицы Л-, то можно указать I = krj линейно независимых операторов W ,. .., Wi, которые коммутируют с оператором и. [c.195] Чтобы подчеркнуть зависимость этих операторов от новых переменных при переходе к последним, например г, будем их записывать в виде и (z), N (z). [c.196] Определяя произведение двух элементов У = ф1. ..ф и го == ф . ... .. ф на множестве Ф фц. .. фп естественным образом г и = ф ... ф фЬ ... ф = ф +ь . .. [c.200] Обозначим через 3 представление оператора 11 в бесконечномерном пространстве Ф (У). Легко показать, что матрица имеет квазидиагональную структуру. [c.200] Этот результат можно сформулировать следующим образом. [c.201] Тождества вида (4.28) будем называть резонансными соотношениями первого рода, а вида (4.29) — резонансными соотношениями второго рода. [c.202] Определение 4.1. Полугр5шпа Ш (0) называется конечно-порожденной множеством U i = ii,. .., aj , i — I, к, целочисленных неотрицательных векторов, если произвольный элемент f = II 1,. .., Ьп II 6 (0) может быть получен из элементов множества И конечным числом сложений Ь = -Ь. .. - - пф , где щ,. ... .., щ — целые положительные числа. [c.202] О п ределение 4.2. Множество U называется минимальным неприводимым), если никакое его собственное подмножество не является порождающим для Ш (0). [c.202] Всюду в дальнейшем под порождающим множеством U будем подразумевать минимальное множество. [c.202] Обозначим различные классы множеств (kj) через (kj), (Xj),. .. Два различных класса (X) и (X,) не могут иметь общих элементов, т. е. (Xj) f] г (Хг) = 0- Действительно, если бы существовал общий элемент v в пересечении этих классов, то каждый класс можно было бы получить из v (Xj) = v (0), (Xj) = у -Ь SOT (0), т. е. два класса (Xj) и (Xj) совпали бы. Из сказанного следует, что (Xj) = (Xj) (J 2 (Xj) U + Определение 4.3. Полугруппа Ш (Xj) называется конечно-порожденной, если ее порождающее множество равно объединению конечного числа классов SOTi (Xj),. .., 4Slr (Xj) . [c.203] Число классов г в порождающем множестве (Xj) конечно-порожденной полугруппы Ш (kj) назовем размерностью полугруппы SOT (Xj). Обозначая г = dim OT (kj), каждый класс (Xj) можно оха-ректеризовать некоторым элементом Zy — представителем класса. Элемент Zy g (Xj) будем считать элементарным, т. е. непредставимым в виде суммы kj -Ь а, где I ji удовлетворяет тождествам (4.29), а а 6 ЗОТ (0). [c.203] Так как каждая компонента вектора Iji — неотрицательное целое число и, следовательно, может быть представлена в виде суммы целых положительных чисел конечным числом способов, то составляющая SOT (0) в любом векторе из Шг (Xj) может быть выделена в результате конечного числа шагов. Таким образом, задача нахождения элементарных элементов может быть проведена за конечное число шагов. [c.203] Пусть полугруппа SOT (Xj) является конечно-порожденной и имеет размерность г, т. е. = i (X,),. .., (Xj) , и Zji,. .., Zjr — элементарные элементы полугруппы SOT (Xj), представляющие различные классы . Чтобы подчеркнуть этот факт, будем указывать явную зависимость полугруппы (ki) от и писать SOT (kj, ), или SOT Xj, ( j)i r (Xj) . [c.203] Вернуться к основной статье