ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Асимптотическая декомпозиция почти алгебраически приводимых из "Теоретико-групповой подход в асимптотических методах нелинейной механики " Здесь А. — комплексно-сопряженная матрица по отношению к При решении уравнений (3.1) будем опираться на следующее основное положение о разрешимости линейных алгебраических уравнений. [c.150] С учетом сказанного правую часть операторного уравнения [и, Sv] = Fv, эквивалентного матричному уравнению (3.1), можно записать в виде Fv = Nv + Qv Операторы Nv перестановочны с оператором и, т. е. [c.150] После точного определения вида проектора рг Fv от оператора Fv в форме равенств (3.5) можно составить централизованную систему, соответствующую исходной системе (1.1). [c.151] Докажем следующее вспомогательное утверждение. [c.152] Теорема 3.3. Нахождение проекции оператора рг от правых частей уравнений (2.5) сводится к решению систем линейных неоднородных алгебраических уравнений вида (3.14) или (3.15). Решение этих уравнений существует и единственно. [c.154] В случае необходимости легко операцией транспонирования перейти к исходной системе (4.1). [c.157] В 3 показано, что определитель (3.25) матрицы системы уравнений (3.23) не равен нулю и, следовательно, инвариантная билинейная форма В на алгебре является невырожденной. Сформулированная теорема дает теоретическую предпосылку для разложимости алгебры централизатора на подалгебры. [c.157] Приведем метод выделения в алгебре централизатора ее идеалов и сформулируем ряд теорем о декомпозируемости централизованной системы. Вначале сформулируем следующее определение. [c.157] Докажем предварительно два вспомогательных утверждения. Лемма 4.1. Если X — правый собственный вектор матрицы Л с собственным числом К, I = 1, т, то он одновременно является левым собственным вектором матрицы Л собственным числом/ = , т и наоборот. Равенство г = / не обязательно. [c.158] При доказательстве сформулированной теоремы понадобится несколько вспомогательных утверждений. [c.160] Сформулируем основной результат о декомпозиции. [c.161] В практических вычислениях применение теоремы 4,4 может оказаться затруднительным. Нахождение матриц . ... [c.162] Если размерность к подпространства меньпге и, то выбираем в качестве первых к строк матрицы преобразования базис и в качестве остальных — п — к строк, дополняющих базис пространства В до полного. При помощи замены переменных х = z преобразуем матрицы Л и viv к квазидиагональному виду (4.26). [c.163] Сформулируем следствие из теоремы 4.5. [c.163] Следствие 4.2. Пусть матрицы ( 1 и не имеют общих характеристических чисел, тогда система (4.16) может быть преобразована к квазидиагональному виду. [c.163] В ряде случаев матрицы 3)vN, входящие в централизованную систему, могут стать удобным средством для построения инвариантных подпространств матрицы Л и дальнейшей декомпозиции централизованной системы. [c.164] Еслн с помощью указанной теоремы найдено подпространство Ь, инвариантное относительно матрицы А, то для дальнейшей декомпозиции централизованной системы можно применить теорему 4.5. [c.164] Прежде чем приступить к доказательству теоремы 5.1, сделаем следующее замечание. Интегрирование централизованной системы (5.7) существенно проще, чем интегрирование исходной возмущенной системы (5.6), так как она так же, как и система нулевого приближения, распадается на т независимо интегрируемых подсистем размерностей Гх,. .., Гт- Докажем два вспомогательных утверждения, которые будут использованы при доказательстве теоремы 5.1. Они имеют и самостоятельный интерес, так как показывают, что за счет декомпозируемости системы нулевого приближения все вычисления существенно упрощаются. [c.166] В которой элемент Хц имеет размерность г, X г , I, / = 1, т. [c.167] Ввиду сделанного предположения о том, что матрицы Лг и Лз °Ри I ф Ф ] не имеют общих характеристических чисел, матрицы Ли и Лп также не будут иметь общих характеристических чисел. [c.167] Вернуться к основной статье