ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Сведение решения операторных уравнений к решению системы ал из "Теоретико-групповой подход в асимптотических методах нелинейной механики " Прежде чем перейти к построению обертывающих алгебр Ли системы нулевого приближения (1.2) и возмущенной системы (1.1), напомним некоторые известные положения из теории линейных пространств. Существует глубокая связь между свойствами операторов и и и и соответствующих им матриц А и о. [c.142] Рассмотрим два линейных пространства и размерностей тип над полем Р. Векторам базиса 1,. .., 1т пространства 1 поставим в соответствие какие-либо векторы /ц. .. /щ пространства Уд. [c.142] Имеет место следующее утверждение (см., например, работу [18]). [c.143] Теорема 1.2 [18, с. 206]. Между линейными операторами и прямоугольными матрицами устанавливается взаимно однозначное соответствие при любых фиксированных базисах. [c.143] Применительно к рассматриваемой системе (1.1) введем линейное пространство У над Р, базис которого образован переменными х ,. .. [c.143] Квадратная матрица Л == ац ц / = 1, и и будет матрицей оператора X в базисе х ,. .., ж . В дальнейшем будем просто говорить, что еЛ — матрица оператора Х так как базис считаем неизменным. [c.143] Если имеются два оператора Х , Х вида (1.4), то очевидно, что и оператор а Х + 2X3, а , имеет аналогичную структуру. [c.144] Докажем, что оператор [Хц Х ] 6 аЗ (F) и выясним его структуру. [c.144] Таким образом, доказано, что введение в линейном пространстве 85 (У) умножения (1.16) превращает его в алгебру. Будем обозначать зту алгебру тем же символом 58 (V), что и порождающее ее линейное пространство. [c.145] Справедливо следующее утверждение о связи алгебр 58 (V) и п, Р). [c.145] Обозначим через линейное пространство над Р с базисом, составленным из линейно независимых матриц, входящих в совокупности ст,. .., а ). Запись а У будет означать, что все элементы У можно линейно выразить через базис У т. е. расптирение У за счет множества невозможно, так как в последнем нет линейно независимых от У векторов. [c.145] Теорема 1.6. Если на некотором шаге с У, то и для всех последующих шагов имеет место включение У с У для г /с + 2. [c.145] Пусть у — максимальное линейное пространство размерности т при указанном расширении. Ясно, что т п . Из способа построения простанства У видно, что оно порождает некоторую подалгебру полной линейной алгебры (п, Р). Обозначим эту алгебру тем же символом У , У Е От алгебры легко перейти к соответствующей алгебре 83 (У ) линейных дифференциальных операторов (для этого следует транспонировать матрицы У и воспользоваться формулами (1.4), (1.5)). [c.145] Всюду в дальнейшем будем предполагать, что Г совпадает с и, следовательно, 83 (У ) совпадает с 83 (У). Противное предположение обозначало бы декомпозируемость исходной системы (1.1). Пример обертывающей алгебры 83(, системы нулевого приближения рассмотрен в 1 гл. 1. [c.145] Г — постоянная матрица размера пх п с неопределенными пока коэ фициентами. [c.146] Правая часть Fv уравнений (2.1) получена вычислением скобок Пуассона от операторов И, 11 и Sv и, следовательно (см. теорему 1.4) принадлежит пространству 83 (V). [c.146] Свойства прямых произведений приведены в работе [44]. [c.148] Вернуться к основной статье