ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Основные теоремы об интегрировании централизованной системы из "Теоретико-групповой подход в асимптотических методах нелинейной механики " Пусть (G) обозначает множество линейных дифференциальных операторов в частных производных первого порядка (в дальнейшем просто операторов) с коэффициентами из й (G). [c.92] Множество всех решений уравнения (1.3) образует алгебру Ли которая вполне характеризует исходную систему (1.1). Заметим, что алгебра йо не пуста, так как содержит элемент 8 = 11. Совершенно ясно, что для любого элемента Z 6 преобразование (1.2) оставляет инвариантной систему (1.1). [c.93] Неоднородное уравнение (1.11) должно иметь решения с определенными аналитическиьш свойствами. Например, оно не должно содержать секулярных членов на траекториях системы нулевого приближения, сохранять точку покоя и т. д. Это возможно Л1Ш1Ь в том случае, если правая часть уравнения (1.11) не содержит элементов из 0. [c.95] Описанный алгоритм перехода от возмущенной системы (1.4) к централизованной (1.12) назовем алгоритмом асимптотической декомпозиции. [c.96] Инвариантность централизованной системы относительно однопараметрической группы (1.17) можно принять в качестве ее определения и сформулировать полученный результат следующим образомг алгоритм асимптотической декомпозицрш ставит в соответствие возмущенной системе (1.4) в качестве эталонной системы централизованную (1.15) централизованная система инвариантна относительно однопараметрической группы преобразований (1.17), в то время как возмущенная система инвариантна относительно этой группы лишь в нулевом приближении. [c.96] Интегрирование централизованной системы (1.15) проще, чем исходной возмущенной системы (1.4). Соответствующие теоремы приводятся ниже. [c.96] Другой важнейшей подалгеброй наряду с является подалгебра = Ж, допускаемая оператором и. Ее элементы удовлетворяют соотношению [11, 58 1 = Ж . [c.97] формулой иХ = [II, X], X Ж. Таким образом, алгебра централизатора является ядром отображения Ь ], а алгебра 8 — его образом. [c.97] Свойство разложимости (1.19) является определяющим при выборе систем, к которым применим алгоритм асимптотической декомпозиции, и будет доказываться в каждом отдельном случае. Остановимся на решении операторного уравнения (1.3), определяющего алгебру Могут представиться два принципиальных случая. [c.97] В первом случае система (1.1) нулевого приближения в рассматриваемой области не имеет точек покоя. Используя классические теоремы о существовании и единственности решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, можно показать, что решениями операторного уравнения (1.3) являются, по крайней мере локально (в окрестности каждой точки), п линейно несвязных операторов из (С). Обоснование алгоритма в этом случае проводится особенно просто для систем нулевого приближения общего вида (1.1). [c.97] Замечательной особенностью централизованной системы является возможность свести ее интегрирование к интегрированию системы нулевого приближения (1.1). Обозначим через G замкнутую подобласть из G, соответственно G g = Т X Тое X G, Г = [а, Ь]. Следующее утвержение о структуре централизованной системы справедливо для обертывающих алгебр как над (G), так и над (G). [c.98] При выводе последнего тождества следует прргаять во внимание коммутативность операторов U iiN. Итак, в новых переменных z оператор принимает вид (z) = d/dt -f U (z), и ему соответствует система (2.3), с точностью до обозначений совпадающ ая с системой нулевого приближения исходной системы (2.1). [c.99] Для доказательства следствия 2.1 необходимо найти параметр 8 из уравнения TJ = Ь, тогда искомым интервалом I ( о, Жд) является [О, е ]. [c.100] Укажем еще од1ш путь интегрирования централизованной системы, открываемый следующими теоремами. [c.100] Доказательство сформулированных теорем 2.2 и 2.3 проводится аналогично доказательству теоремы 1.1. [c.101] По алгебре централизатора можно построить фактор-алгебру образованную комплексами Nj + 8 ои , / = 1 2,. .., где N — представители классов, являющиеся составляющими в разло-жен1ш (2.14). [c.102] Вернуться к основной статье