ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Алгебраическая приводимость систем линейных дифференциальных из "Теоретико-групповой подход в асимптотических методах нелинейной механики " Возможность решения системы (3.1) в замкнутом виде (3.2) при выполнении условия (3.3) получила в теории дифференциальных уравнений название случай интегрируемости Лаппо — Данилевского (см., например, работу [65]). Такие системы в дальнейшем будем называть системами Лаппо — Данилевского. [c.66] Как оказалось, системы Лаппо — Данилевского являются в действительности алгебраически приводимыми, что было показано в ряде работ. В настоящем параграфе рассматривается задача об алгебраической приводимости систем Лаппо — Данилевского. Для выполнения условий (3.3) достаточно, чтобы матрица Ж (t) (или, что равносильно, матрица Ж (t) = Q (t)) была функционально-коммутативна, т. е. чтобы ее значения при любых значениях аргумента из области определения матриц коммутировали между собой [Ж (i ), Ж (t )] 0. [c.66] Для функционально-коммутативных матриц справедлив следую-Ш.ИЙ результат. [c.66] Ж (1) и ж (t) при каждом значении I по существу локально и слабо связывает значения матриц на всем интервале. В дальнейшем имеет существенное значение дополнительное требование о консервативности матриц Ж (1). [c.67] О п р е д е л е н и е 3.1. Матрица Ж (1) называется консервативной в интервале I (я, Ь), если она сохраняет в этом интервале жорда-нову нормальную форму, т. е. имеет в каждой точке интервала одну и ту же характеристику Сегре. [c.67] Справедливо следующее утверждение. [c.67] Таким образом, теорема 3.2 утверждает, что система (3.1) является алгебраически вполне приводимой. При некоторых дополнительных предположениях о структуре матрицы Ж (1) оказывается, что она функционально-коммутативна. [c.67] Критерий Лаппо — Данилевского (3.4) был обобщен в работе [109], а дальнейшее его обобщение проведено в работах [48, 49]. [c.67] Сравнивая теорему 3.3 с теоремой 3.2, видим, что она действительно является ее обобщением. Если выполняется условие (3.3), то зто значит, что. /V ( ) = О и все подпространства Ц сливаются с пространством Ь, в котором действует матрица Ж 1). [c.68] Вернуться к основной статье