ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Алгебраическая приводимость систем линейных обыкновенных из "Теоретико-групповой подход в асимптотических методах нелинейной механики " Приведем точное определение таких алгебр и необходимые для дальнейшего сведения. [c.45] Определение 1.2. Если кольцо Q наряду с элементом а содержит также все элементы а а, где а — произвольный элемент поля Р, то оно называется алгеброй. [c.45] Проверку выполнимости аксиом I—III определения 1.1 легко осуществить несложными вычислениями. Алгебра называется полной матричной алгеброй. Ее ранг равен п . [c.46] Введенная выше алгебра либо совпадает с либо составляет ее правильную часть й сг йп, т. е. является подалгеброй полной матричной алгебры. Ниже изучаются главным образом алгебры, элементами которых являются матрицы или матричные алгебры. [c.46] Будем говорить, что в этом случае алгебра Й допускает представление матрицами к X к, кап. [c.46] Теорема 1.1. Для того чтобы система линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами (1.1) была вполне приводима (приводима), необходимо и достаточно, чтобы была вполне приводима (приводима) обертывающая матричная алгебра й системы (1.1). [c.47] Доказательство. Пользуясь линейной независимостью элементов базиса (1.4) алгебры можно представить матрицу коэффициентов Л t) в виде суммы Л (О = 1 (О + — + ь, ( ) где 1 ( ),. .., 6, 1) — известные скалярные функции. [c.47] Всюду в дальнейшем будем (для краткости) говорить просто об алгебраической приводимости, подразумевая под этим либо квазитреугольную, либо квазидиагональную структуру приведенных матриц. [c.47] Докажем следующую основную теорему об алгебраической приводимости. [c.47] Теорема 1.2. Для того чтобы система линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами (1.1) была алгебраически приводима, необходимо и достаточно, чтобы ранг к обертывающей алгебры системы был меньше п , т. е. выполнялось строгое неравенство к п . [c.47] Необходимость условий теоремы сразу следует из структуры приведенных матриц (1.6) или (1.7). Так как сумма и произведение таких матриц также являются матрицами аналогичной структуры, то линейно независимых элементов в алгебре й будет меньше п . Для доказательства достаточности потребуется ряд вспомогательных определений и утверждений из теории конечномерных ассоциативных алгебр. Метод доказательства будет состоять, по существу, в указании алгоритма построения приводящей матрицы 5. [c.47] Определение 1.5. Если подалгебра обладает тем свойством, что элементы из умножаемые справа (слева) на элементы из Й, дают опять элементы из. й с (й 511 с то подалгебра называется (левым) идеалом алгебры Если же соблюдаются оба условия, то 5 называется двусторонним идеалом. [c.48] Множество перестановочных элементов будем обозначать буквой 3-Это множество образует подалгебру (но в общем случае не идеал) подалгебры называемую ее центром. [c.48] Любой элемент центра 6 8 может быть разложен по базису = хЛ + + йЛл- Если 1 б 8, то 1 = ШуШ, так как = ЗэуАи 1 = 1, 1. Следовательно, элементы центра перестановочны между собой. Другими словами, центр 8 — коммутативная алгебра. [c.48] Пример 1.2. Рассмотрим полную матричную алгебру из примера 1.1. Совокупность элементов (строка матрицы общего элемента) ... [c.48] Перейдем к рассмотрению важнейших подалгебр алгебры й. Матрица Л называется нильпотеитной, если существует показатель а такой, что = 0. Как известно из курса алгебры, а п. Легко доказывается следующее утверждение. [c.49] Теорема 1.3. Матрица Л нилъпотентна в том и только в том случае, когда все ее характеристические числа равны нулю. [c.49] Определение 1.6. Алгебра называется нильпотеитной, если произведение ее любых а элементов равно нулю. [c.49] Если все элементы алгебры й нильпотентны, то она называется слабо нильпотеитной. Для конечномерных алгебр понятия слабо нильпотентная алгебра и ш1льпотентная алгебра совпадают в силу следующего утверждения. [c.49] Вернуться к основной статье