ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Кэмпбелла — Хаусдорфа Теория Ли систем обыкновенных дифференциальных уравнений из "Теоретико-групповой подход в асимптотических методах нелинейной механики " Факт существования решения в виде ряда (2.4) устанавливается известной теоремой Коши. [c.17] Указанная аналогия не случайна, так как ряды Ли (2.10) в действительности обладают набором алгебраических свойств, хорошо известных для матричнызс рядов (2.12). Прежде чем приступить к дальнейшему изложению материала, приведем простой пример нахождения решения в виде рядов Ли. [c.19] Функции в правых частях формул (2.15) являются первыми интегралами исходной системы (2.13). [c.19] Доказательство теоремы 2.1 проводится методом мажорантных функций Коши. Предпошлем доказательству необходимые определения и сформулируем ряд вспомогательных утверждений. [c.20] Так как ряды (2.16), представляющие функции fj, i = О, п, сходятся в области V, то, как известно, они сходятся в этой области абсолютно, т. е. [c.20] Совершенно аналогично доказывается следующая рекуррентная формула. [c.21] Доказательство. По теореме 2.2 ряд Ли (2.24) абсолютно сходится в области, определяемой неравенствами (2.18). Зафиксируем в (2.18) число X и введем параметр О 0 1. [c.22] Следующая теорема имеет исключительно важное значение в дальнейшем изложении. [c.23] Пусть ряд Ли (2.11) рассматривается в области F, задаваемой неравенствами (2.2). Подставим в него вместо переменных х переменные Хо, а вместо функции / (х) — поочередно функции Х(ц, i = 1, п. [c.23] Эти ряды также представляют собой аналитические функции в области V, т. к. имеют те же мажорантные функции, что и ряды (2.31). [c.24] Теорема 2.5. Функции хт - (х) (2.82) являются обратными по отношению к функциям = ф, (х ) (2.31), т. е. [c.24] Доказательство. Подставим в функции (2.33) значения ху. [c.24] Но из элементарных алгебраических вычислений следует, что (—(в—во)Х(ж) ((8—во)х(ж)) = I Поэтому из (2.34) немедленно получаем доказываемые тождества (2.33). [c.24] Доказательство. Фактически нужно убедиться, что ряд (2.31) представляет единственное аналитическое решение задачи Коши. Применение метода последовательных приближений на отрезке Пеано к системе 2.1 приводит к аналитическому решению (см. [104, с. 106]). В силу единственности это решение совпадает с рядами Ли (2.31). [c.25] Перенесем на аналитаческие решения в виде рядов Ли (2.31) следующий результат, известный из общей теории дифференциальных уравнений. [c.25] Следствие 2.1. В области (2.35) ряды Ли (2.31) задают общее решение системы (2.1). [c.26] Используя свойство (2.45), легко убедиться, что преобразования совокупности обладают свойством ассоциативности, т. е. [c.27] Рассмотренные свойства преобразований из множества показывают, что совокупность является локальной однопараметричес-ской группой Ли. Чтобы пояснить это понятие, приведем необходимые определения. [c.27] Очевидно, что в множестве (В выполняются все групповые аксиомы. В качестве единичного элемента выступает тождественное преобразование Т (0) 1. Для любого элемента Т (Д) (55 существует обратный Т (—Д) Т (А) Т (—Д) = 1. Наконец, выполняется условие ассоциативности (2.46). [c.27] Множество преобразований с законом умножения ф (а, ), я, Ь б удовлетворяющим аксиомам (2.48), образует локальную однопараметрическую группу Ли преобразований. [c.28] Вернуться к основной статье