ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Система дифференциальных уравнений и ее обертывающая алгебра из "Теоретико-групповой подход в асимптотических методах нелинейной механики " Алгебру функций Й определим как такую совокупность функций над полем Р, которая вместе с каждой функцией содержит ее произведение на любое число а 6 Р и вместе с каждыми двумя функциями содержит их сумму и произведение. Эта алгебра коммутативна, ассоциативна и обладает единицей. Функции Й могут быть вещественными или комплекснозначными, аналитическими, гладкими (т. е. бесконечно дифференцируемыми) или просто принадлежать классу С, Л - - х). Открытое множество С вместе с дифференцируемой структурой Й (С) называется дифференцируемым многообразием. В том случае, когда алгебра Й (С) образована всевозможными аналитическими (вещественными или комплексными) функциями, многообразие 0 (С) называется аналитическим (вещественным или комплексным). Чтобы подчеркнуть, над каким полем рассматривается многообразие, будем писать ДЬ (К, С) для комплексного случая и Й (В, С) — для вещественного. Эти формы записи можно объединить в единую форму Й (Р, С). Всюду в дальнейшем, если не оговорено противное, будем рассматривать аналитические многообразия. [c.12] Согласно определению векторного поля (что тоже можно установить непосредственной проверкой, учитывая выражения (1.3)) скобка Пуассона [X, ] = Х — Х двух векторных полей X, 6 (С) также является векторным полем, т. е. [c.13] Последнее соотношение называется тождеством Якоби. [c.13] Другими словами, множество векторных полей на многообразии ДЗ (С) является линейным пространством. Совокупность векторных полей (С), рассматриваемая как векторное пространство Д ) (О) над Р с определенным на нем правилом умножения (1.4), при помощи скобок Пуассона, для которых выполняются тождества (1.5), (1.6), образует алгебру Ли. Если это векторное пространство конечномерно над полем Р, то алгебра называется конечномерной, в противном случае — бесконечномерной. [c.13] Перейдем к описанию алгебры Ли, порождаемой дифференциальной системой (1.1). [c.13] Поставим в соответствие системе (1.1) оператор X. Как только что было показано, оператор по этой системе строится однозначно. Справедливо и обратное если дан оператор (1.8), то по нему может быть воспроизведена дифференциальная система. С этой целью в тождестве (1.7) вместо функции ф следует поочередно подставить функции Xi,. .., х . Между решением системы дифференциальных уравнений (1.1) и решением уравнения в частных производных первого порядка df/df + X/ = О существует глубокая связь. Оператор (1.8) будем называть ассоциированным дифференциальным оператором исходной системы (1.1). [c.14] что построенная совокупность образует алгебру Ли SS над полем Р. Очевидно, что SS ДЗ (G). Эту алгебру будем называть обертывающей алгеброй Ли исходной системы (1.1). Таким образом, ассоциированный оператор X системы является элементом обертывающей алгебры 58. В ряде важных случаев, например линейных систем с постоянными коэффициентами, структура алгебры SS может быть определена по жордановой структуре матрицы коэффициентов. Проиллюстрируем сказанное на примерах. [c.14] Заметим, что сопоставление системе (1.11) обертывающей алгебры 58 всегда возможно, но не является единственным вариантом. [c.16] Число h линейно несвязных операторов, естественно, не превышает числа переменных п, h п. Несвязные операторы (1.13) во всей области G назовем базисными операторами обертывающей алгебры 58. [c.16] Вернуться к основной статье