ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Усиление и непропускание из "Физическая кинетика " До сих пор мы рассматривали задачи об устойчивости, в которых речь шла о развитии во времени возмущения, заданного в пространстве в некоторый начальный момент. Фурье-разложе-ние такого возмущения содержит компоненты с вещественными значениями волновых векторов к, а их временная зависимость определяется частотами со (к)—комплексными корнями дисперсионного уравнения. [c.330] Возможна, однако, и другая постановка задачи об устойчивости задача, в которой речь идет о возмущении, создаваемом в некотором участке пространства по заданному временному закону. Фурье-разложение такого возмущения содержит компоненты с вещественными частотами со, а их распространение в пространстве определяется волновыми векторами к (л), получающимися решением дисперсионного уравнения —на этот раз относительной соответственно комплексными оказываются не частоты, а волновые векторы (как и в предыдущем параграфе, мы имеем в виду одномерную задачу и потому пишем к к вместо вектора к). [c.330] Комплексность волновых векторов может иметь различный смысл. В одних случаях она может означать просто, что соответствующие волны не могут распространяться в среде непро-пустние). В других случаях комплексность к может означать усиление волн средой при их распространении от источника. Сразу же подчеркнем, что критерием различения этих двух возможностей заведомо не может являться знак 1т волны могут распространяться в обоих направлениях оси х, а изменение направления распространения эквивалентно изменению знака к. [c.330] КОНОМ дисперсии (о —(см. задачу 1 32) при частотах (О 0 (когда к (со) мнимо) имеет место непропускание действительно, определяемая этим уравнением функция (и к) вещественна при всех вещественных значениях к, так что система заведомо устойчива. [c.331] Это выражение автоматически обеспечивает равенство t, х) 0 при / О в соответствии с условиями задачи возмущение возникает только от включаемого в момент t = 0 источника. [c.331] Переходя к отысканию требуемой асимптотики, прежде всего отметим, что асимптотический переход схз надо произвести до перехода д — -схз поскольку за конечное время возмущение не может распространиться до бесконечности, то переход д — оо при конечном t обратит я) в нуль. [c.332] Для нахождения асимптотики функции Ф( д, х) при д — оо надо теперь смещать путь интегрирования по к вверх (при д 0) или вниз (при д 0) до тех пор, пока он не зацепится за полюс подынтегрального выражения в (63,5) (корень уравнения А( , ) = 0). [c.332] В случае же конвективной неустойчивости полюсы k (ю) выходят на вещественную ось уже при 1га ю 0. Поэтому заведомо существуют полюсы или , попавшие при ю = о в чужую полуплоскость, т. е. для которых 1га А+ ( о) О или Im к ( о) 0. Наличие такого полюса + ( о) приводит к усилению йолны справа от источника, а наличие такого полюса к- (ш ) — к усилению слева от источника. [c.333] Резюмируя изложенные рассуждения, приходим к следующему критерию различения случаев непропускания и усиления волн, испускаемых источником с частотой в конвективно-неустойчивой системе. [c.333] Волна с комплексным значением к ( о) при вещественном усиливается, если функция Im ( ) меняет знак при изменении 1га от Ч-с до О (при заданном Re = o) если же 1тА( ) не меняет знака, то имеет место непропускание. [c.333] Отметим, что происхождение этого критерия связано с требованиями причинности. Действительно, при сколь угодно быстром включении источника возмущение во всяком случае должно убывать при д — се просто потому, что за конечное время оно не может распространиться на бесконечное расстояние. С другой стороны, сколь угодно быстрое включение можно осуществить по закону с Im — -j-схз. Поэтому ясно, что волны, усиливаемые (при вещественном ) в ту или иную сторону от источника, должны затухать в эту же сторону при 1га - -схз, откуда и возникает сформулированный выше критерий. [c.333] Отсюда видно, что если у появляется мнимая часть 1т 0, то к смещается в верхнюю полуплоскость при йа/йк О и в нижнюю в обратном случае. [c.334] Таким образом, при t— -оо от возмущения остаются лишь незатухающие плазменные волны. [c.334] Отметим, что (63,9) совпадает с дисперсионным уравнением пучка самого по себе, как если бы неподвижной плазмы вообще не было. [c.334] Вернуться к основной статье