ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Солитоиы в слабо диспергирующей среде из "Физическая кинетика " Система уравнений (38,3) и (38,7) формально тождественна уравнениям гидродинамики изотермического идеального газа с массой частиц М и температурой гТ,. Скорость звука в таком газе равна гТ М) — в соответствии с выражением (33,5) для скорости ионно-звуковых волн дисперсия волн в этом приближении отсутствует. [c.189] Установленная аналогия с гидродинамикой нуждается в существенной оговорке. Как известно, система гидродинамических уравнений далеко не всегда имеет непрерывные во всем пространстве решения. Отсутствие непрерывного решения в обычной гидродинамике означает образование ударных воли—поверхностей, на которых физические величины испытывают разрывы. В бесстолкновительной гидродинамике не существует ударных волн, поскольку они по самой своей природе связаны с отсутствующей в данном случае диссипацией энергии. Отсутствие непрерывных решений означает здесь, что в некоторой области пространства нарушается предположение о квазинейтральности плазмы. В таких областях (их условно называют бесстолкнови-тельными ударными волнами) зависимость физических величин от координат и времени оказывается осциллирующей, причем характерная длина волны этих осцилляций, определяется не только характерными размерами задачи, но и внутренним свойством плазмы—ее дебаевским радиусом ). [c.189] Вернемся к более общим уравнениям (38,2—4), не предполагающим квазинейтральности плазмы. Важным свойством этих уравнений является существование у них одномерных решений, в которых все величины зависят от переменных t vi х только в комбинации l==x—ut с постоянной и. Такие решения описывают волны, распространяющиеся со скоростью и без изменения своего профиля. Если перейти к системе отсчета, движущейся относительно исходной системы со скоростью и, то в этой системе движение плазмы будет стационарным. Наиболее интересными из решений этого типа являются решения, периодические в пространстве, и решения, убывающие в обе стороны на бесконечности. Рассмотрим здесь именно последние—так называемые уединенные волны, ши солитоны ) А. А. Ведете, Е. П. Велихов, Р. 3. Сагдеев, 1961). [c.190] При этом функция Л Дф) берется из (38,9), а Лф) определяется формулами 36. Отметим, что в рассматриваемой волне всегда Ф О, как это видно из (38,8). Потенциальная энергия электрона в таком поле i/ = —еф 6, т. е. по отношению й электронам поле имеет характер потенциальной ямы. [c.190] Это условие, вообще говоря, устанавливает верхнюю границу возможных значений амплитуды волны (а с нею и скорости и). [c.191] Определить профиль и скорость уединенной волны небольшой интенсивности 1) в плазме с электронами, распределенными согласно (36,11) (Л. В. Гуревич, 1967). [c.191] В этом параграфе мы изучим эти явления в общем виде для довольно широкой категории случаев распространения волн в бездиссипативной слабо диспергирующей среде с учетом слабой же нелинейности. [c.192] Подчеркнем, однако, во избежание недоразумений, что такой вид слабой нелинейности отнюдь не является универсальным. Так, слабая нелинейность для распространения волн в плазме, возникающая от последнего члена в электронном распределении (36,11) (использоваииом в задаче и 38), соответствовала бы члену - Ybdbjdx в уравнении типа (39,2). [c.193] Эта скорость ы Ыо и растет с увеличением амплитуды. [c.195] Снова напомним, что нелинейность процессов, описываемых уравнением КдВ, предполагается слабой. Условие этой малости имеет естественный смысл так, если роль величины а играет изменение плотности среды, то это изменение должно быть малым по сравнению с невозмущенной плотностью. В то же время степень нелинейности этих процессов характеризуется еще и другим безразмерным параметром L aJ y/ , где —характерная длина, а —амплитуда возмущения. Этот параметр определяет относительную роль эффектов нелинейности и дисперсии и может быть как малым (преобладание эффекта дисперсии), так и большим (преобладание эффекта нелинейности). Для солитона, ширина которого L , этот параметр порядка 1. [c.195] Параметр эллиптического интеграла обозначен буквой 5 (вместо обычно принятой к) во избежание путаницы с волновым вектором. [c.195] При этом скорость (39,21) становится равной и — По—а З = и — к в соответствии с (39,1). [c.196] До сих пор мы предполагали, что р 0. Случай, когда постоянная р 0 не требует особого рассмотрения изменение знака р в уравнении (39,4) эквивалентно замене —а. [c.197] Поскольку при такой замене аргумент Zв (39,5) превращается в —I—vJ, то скорость распространения волны будет теперь u = uf,—1. Так, для солитона полученные выше результаты изменятся лишь в том отношении, что функция а ( ) станет отрицательной, а его скорость и щ. [c.197] Если же потенциал а t, I) представляет собой совокупность солитонов, находящихся на больших расстояниях друг от друга (так что взаимодействие между ними отсутствует), то спектр собственных значений уравнения (39,23) будет складываться из уровней (39,28) в каждой из потенциальных ям, причем каждый из них определяется амплитудой соответствующего солитона. [c.198] Поскольку скорость распространения солитона растет с увеличением его амплитуды, то солитон большей амплитуды в конце концов всегда догонит солитон меньшей амплитуды. Произвольная начальная совокупность удаленных друг от друга солитонов после процессов взаимных столкновений в конце концов превратится в совокупность солитонов, расположенных в порядке возрастания их амплитуд (напомним, что все возмущения, описываемые уравнением КдВ, распространяются в одну сторону ). [c.198] Полученные выше результаты позволяют сразу же сделать интересное заключение начальная и конечная совокупности солитонов одинаковы по общему числу и по амплитудам солитонов, отличаясь лишь порядком их расположения. Это следует непосредственно из того, что каждый из изолированных солитонов соответствует одному из собственных значений е, а эти значения от времени не зависят. [c.199] Вообще, всякое положительное (а 0) начальное возмущение, занимающее конечную область пространства, в ходе своей эволюции, согласно уравнению КдВ, в конце концов распадается в совокупность изолированных солитонов, амплитуды которых уже не зависят от времени. Эти амплитуды и число солитонов можно в принципе найти путем определения спектра дискретных собственных значений уравнения (39,23) с начальным распределением а (О, в качестве потенциала . Если же начальное возмущение содержит в себе также и участки с а О, то в ходе его эволюции возникает еще и волновой пакет, постепенно расплывающийся, не распадаясь на солитоны. [c.199] Вернуться к основной статье