ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Уравнение Фокксра—Планка из "Физическая кинетика " Определяемая кинетическим уравнением функция распределения (которую мы будем обозначать в этом и следующем параграфах как /) дает средние числа молекул, находящихся в элементах фазового объема d xdF-, для статистически равновесного газа функция ( (Г) есть независящая от времени и (если нет внешнего поля) от координат г больцмановская функция распределения (6,7). Естественно возникает вопрос о флуктуациях, испытываемых точной, микроскопической функцией распределения f t, г. Г) в ходе ее изменения со временем при движении частиц газа по их точным уравнениям движения ). [c.105] Этот вопрос впервые рассматривался Б. Б. Кадомцевым (1957). [c.105] Ввиду изотропии газа, зависимость этой функции от г фактически сводится к зависимости от абсолютной величины г. [c.106] Для расстояний г, больших по сравнению с длиной пробега I, коррелятор плотности можно вычислить с помощью гидродинамической теории флуктуаций (см. IX, 88). На расстояниях же требуется кинетическое рассмотрение. [c.106] При t = 0 функция (19,2) связывает флуктуации в различных точках фазового пространства в один и тот же момент времени. Но корреляции между одновременными флуктуациями распространяются лишь на расстоянии порядка величины радиуса действия молекулярных сил. Между тем в рассматриваемой теории такие расстояния рассматриваются как равные нулю и, таким образом, одновременный коррелятор обращается в нуль. Подчеркнем, что это обстоятельство связано именно с равновесностью состояния, относительно которого рассматриваются флуктуации. В неравновесном случае, как мы увидим в следующем параграфе, одновременные флуктуации тоже коррелированы. [c.106] Легко написать уравнение, которое позволяет в принципе определить спектральную функцию флуктуаций без предварительного вычисления пространственно-временного коррелятора. [c.108] Соотношение же (19,5), связанное с обраш,ением времени, в неравновесном случае, вообш,е говоря, отсутствует. [c.111] Двухчастичная функция распределения удовлетворяет кинетическому уравнению, аналогичному уравнению Больцмана. Это уравнение можно было бы вывести из уравнения (16,9) для / , подобно тому, как уравнение для одночастичной функции было выведено из (16,7) ). Мы, однако, дадим здесь вывод уравнения для / 2 , аналогичный основанному на наглядных физических соображениях выводу уравнения Больцмана в 3. [c.112] Изменение же ф за счет столкновений связано с процессами двоякого рода. [c.113] Столкновения частиц / и 2 со всеми остальными частицами, но не друг с другом, приводят к появлению в правой стороне уравнения (20,8) членов /1Ф4-/2Ф, где Д и —линейные интегральные операторы (19,11), действующие соответственно на переменные и Гг. [c.113] Решив это уравнение, мы получим согласно (20,5) функцию, играющую роль начального условия к уравнению (20,3) при = 0 ). [c.113] Правая сторона уравнения (20,10), т. е. парные столкновения между частицами в заданных состояниях и Га, является, таким образом, источником одновременной корреляции флуктуаций в неравновесном газе. Приводя к одновременному изменению чисел заполнения двух состояний, парные столкновения порождают корреляцию между этими числами. В равновесном состоянии, ввиду точной компенсации прямых и обратных парных столкновений, этот механизм неэффективен и одновременные корреляции отсутствуют. [c.114] Отметим, что этот коррелятор содержит также и не б-функцион-ный член. [c.115] Значительную категорию кинетических явлений сбс1айлйют процессы, в которых средние изменения величин (от которых зависит функция распределения) в каждом элементарном акте малы по сравнению с их характерными значениями. Времена релаксации таких процессов велики по сравнению с временами элементарных актов, составляющих их микроскопический механизм в этом смысле такие процессы можно назвать медленными. [c.116] Типичный пример такого рода дает задача о релаксации по импульсам небольшой примеси тяжелого газа в легком (ко1орый сам по себе предполагается находящимся в равновесии). Ввиду малой концентрации тяжелых частиц, их столкновениями друг с другом можно пренебречь и рассматривать их столкновения лишь с частицами основного (легкого) газа- Но при столкновении тяжелой частицы с легкими ее импульс испытывает лишь относительно малое изменение. [c.116] Будем для определенности говорить именно об этом примере и выведем кинетическое уравнение, которому удовлетворяет в таком случае функция распределения частиц примеси по импульсам, f(t, р). [c.116] Другими словами, (21,2) имеет, как и следовало, вид уравнения нёпрерьшности в импульсном пространстве тем самым автоматически соблюдается сохранение числа частиц при процессе. Вектор же S является плотностью потока частиц в импульсном пространстве. [c.117] Отметим, что коэффициенты в двух первых членах разложения интеграла столкновений оказываются одинакового порядка величины это связано с тем, что усреднение первых степеней знакопеременных величин в (21,4) связано с большим погашением, чем при усреднении квадратичных выражений. Дальнейшие же члены разложения будут уже все малы по сравнению с двумя первыми. [c.118] Кинетическое уравнение вида (21,2), в котором коэффициенты определены через усредненные характеристики элементарных актов согласно (21,4), называют уравнением Фоккера—Планка (Л. D. Fokker, 1914 М. Plan k, 1917). Специфические свойства переменных как импульсов частиц в изложенном выводе не играли роли. Ясно поэтому, что уравнение такого же типа будет справедливо и для функций распределения / по другим переменным, если только выполнены условия, лежащие в основе вывода относительная малость изменения величин в элементарных актах и линейность по / интегрального оператора, выражающего изменение функции благодаря этим актам. [c.118] Вернуться к основной статье