ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Формальное и физическое понятие вероятности из "Введение в термодинамику Статистическая физика " Это — растяжение любой фигуры в У пг раз по оси абсцисс и в УМ раз по оси ординат. [c.175] Площадь любой фигуры па пашей плоскости импульсов не изменяется при преобразовании 2) в силу его ортогональности. При преобразовании 1) площади изменяются, очевидно, в /УтМ раз, а при преобразовании 3) —в УтМ раз. Поэтому в результате всех этих преобразований площадь любой фигуры остается без изменений, т. е. в полном согласии с теоремой Лиувилля. [c.175] Справедливость теоремы Лиувилля существенно упрощает ряд выводов статистической теории. Поэтому в статистической физике почти исключительно пользуются канонически сопряженными переменными q и р, так как только в этих переменных данная теорема выражается в изложенной форме. [c.175] Заметим еще, что величина фазового объема представляет собой инвариант относительно преобразования координат (и при соответствующем преобразовании импульсов). Не приводя доказательства ), заметим только, что по существу это положение уже доказано нами путем выкладок, приведенных для доказательства теоремы Лиувилля. Дело в том, что, как известно ), всякое каноническое преобразование д и р может быть представлено в виде совокупности бесконечно малых преобразований, удовлетворяющих уравнениям типа Гамильтона, причем I играет роль параметра преобразования (например, роль угла поворота координатных осей). При преобразованиях совершенпЪ того же типа, что и преобразования р и д, при движении системы по теореме Лиувилля фазовый объем не меняется [14]. [c.175] Статистическая физика широко использует идеи, метод и математический аппарат теории вероятностей. Поэтому здесь необходимо привести основные положения этой последней и выяснить смысл их, имея в виду применение к вопросам статистической физики. [c.175] Вероятностью событий называют положительные числа, обладающие свойствами, которые мы приводим здесь, ограничиваясь частным случаем, когда случайная величина принимает конечное число значений ). [c.176] Совокупность этих положений (и их обобщений на случайные величины, принимающие бесконечное число дискретных или непрерывных значений в пространстве любого числа измерений) и всех теорем, которые из них выводятся, мы будем называть формальной теорией вероятностей . Чтобы эта теория могла быть применена в вопросах физики (а также и любой другой конкретной науки, например биологии), нужно, однако, сделать еще один важный шаг — вложить конкретный смысл в понятие вероятности. Дело в том, что во всех приложениях понятие вероятности события отождествляется с относительной частотой его появления при тех или иных условиях. В формальной же теории вероятностей конкретный смысл понятия вероятности остается произвольным. Вероятность никак не связывается с какой бы то ни было частотой появления, и поэтому, в сущности, формальная теария вероятностей может применяться так, что вероятности вообще приписывается смысл, ничего общего с частотой появления события пе имеющий. [c.177] При решении этого вопроса в приложениях можно идти двулш путями. Можно, во-первых, при каждом применении определить смысл ряда понятий вероятности, условной вероятности и статистической независимости. Такой путь мыслим в статистической физике для ограниченного круга вопросов, в классической статистической термодинамике этот путь намечен в 8 и 9. [c.177] Однако гораздо более общее и плодотворное решение этого вопроса получается на другом пути. Этот путь, систематически проведенный Мизесом, состоит в том, что уже в рамках математической теории понятие вероятности события связывается с относительной частотой его появления в целой последовательности событий. Хотя при проведении этой идеи встречаются серьезные математические трудности, однако, по-видимому, они могут быть преодолены. Основным является понятие коллектива . Коллективом называется бесконечная последовательность значений одной переменной (или нескольких переменных), обладающая следующими двумя свойствами. [c.177] Это второе свойство может быть названо произвольностью выбора [15]. Таким образом, при этом подходе вероятность всегда характеризует определенный коллектив , и каждой операции над вероятностями соответствует построение по определенному закону нового коллектива. Например, при переходе от одного коллектива к другому, элементами которого являются совокупности элементов первого, мы получаем коллектив, для которого вероятности равны сумме первоначальных. Если из коллектива значений двух переменных х, у взять последовательность тех значений, для которых X имеет заданное значение, то легко показать, что эта новая последовательность тоже будет коллективом, причем для него вероятность равна условной вероятности Wxiy). [c.178] Такая постановка задачи сразу связывает вероятностные понятия с частотой появления и потому позволяет ясно сформулировать задачу во всех вопросах, где эти попятия применяются. Вероятностные понятия применяются к явлениям, которые могут быть неограниченно повторены при некоторых неизменных условиях. Последовательность появления определенных событий при этих условиях рассматривается как коллектив, и, таким образом, открывается возможность применения теории вероятностей к конкретным вопросам. Уже в квантовую механику входит понятие вероятности, которое имеет в ней именно такой смысл. Поэтому опирающаяся на квантовую механику квантовая статистика также неизбежно базируется на подобных представлениях. В статистической теории процессов, например в теории броуновского движения, применяют понятие вероятности перехода н существенно пользуются понятием статистической независимости. [c.178] Вернуться к основной статье