ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Общие вопросы описания движения системы в фазовом пространстве из "Термодинамика и статистическая физика Т.3 Изд.2 " Задача 2. Получить общее решение уравнения Лиувилля для одномерного движения частицы в случаях а) свободного ее движения б) движения в поле упругой силы Г = —кх. Нарисовать траектории фазовых точек, изображающих состояния этих систем. [c.360] Траектория точки, изображающей в фазовом пространстве свободное движение, пред-ставляет собой прямую, параллельную оси х (рис. 213) и приподнятую над ней на величину С = /ЪпЁ, где Е =-р /(2т) — энергия частицы. [c.361] Задача 3. Доказать теорему Пуанкаре о возврате (Н. Poin are, 1890) если движение точки X, изображающей состояние консервативной (гамильтониан Я не зависит от времени) системы в фазовом пространстве, финитно (т. е. ограничено некоторой областью 9J, имеющей конечный объем К), то для любой конечной (не нулевой меры) области 9J, включающей начальную точку хо этой траектории, существует такое время Т, за которое фазовая точка х возвращается в эту область. [c.361] Решение. Офаничение случаем финитного движения для статистической системы чем-то неожиданным не лредставляется область = (г.глг) ограничена тем, что все частицы двигаются внутри трехмерного сосуда ко Цечного размера, область изменения р = (pi, . Pjv) ограничена фиксацией полной энергии системы Е = H p,q). Траектория х = x t, Хо) будет располагаться на энергетической поверхности F, кот з )ую на рис. 215 мы условно поместили внутри пунктирной линии, ограничивающей область 2J, й совместили d плоскостью чертежа. [c.362] Если оператору р соответствует конечная Матрица, то первоначальное состояние будет воспроизводиться периодически, если нет, то периодически йосПроизводитЬся будет заранее выбранная главная часть этой матрицы (тем. реже, чем она больше), и уже будет необходимо говорить о квазипериодическом характере воспройзведения начального состояния системы. . . [c.363] Оставляя в Стороне вопрос о том, что необходимые для условия теоремы идеальные адиабатические стенки не удов етворяют требованиям, предъявляемым к статистическим системам и что сами понятия термодинамического равновесия (полного или локального) и нулевого начала термодинамики являются макроскопическими (с механической точки зрения далеко не тривиальными), заметим, что из указанного выше парадокса можно выйти на основе идей, обсуждавшихся в 1. [c.363] Всегда присутствующее и неистребимое флуктуационное воздействие на рассматриваемую систему со стороны окружающих ее систем, не нарушая равновесного ее состояния и всех квазистатических закономерностей, по отношению к реальным термодинамическим системам сводит на нет актуальность несомненно правильной в своих жестких условиях теоремы возврата. Относить же эту теорему ко всей Вселенной хотя и заманчиво, но тоже нет видимых оснований, так как физики до сих пор еще не договорились, сколь механичной она является, и вообще, что она из себя в целом представляет. [c.364] О аг б) в поле упругой силы Г = -кх. [c.364] Решение. На примере этой задачи, элементарной в математическом отношении и достаточно примитивной с физической точки зрения, постараемся обсудить некоторые характерные особенности эволюции системы, изображаемой в фазовом пространстве с помощью функции У). [c.364] Чтобы прийти окончательно к максвелловско распределению, остается только позаимствовать у термостата (т. е. у стенки) значение - тв. [c.366] И последнее, в системе взаимодействующих частиц роль стенок в установлении состояния термодинамического равновесия уже не является столь определяющей, равновесные (квази) состояния в локальных областях системы могут возникать н вдвли от стенок, но это уже совсем другой сюжет (см. 6 гл.З), не связанный с данной задачей. [c.366] Задача 5. Показать, что если функция гв х, удовлетворяет уравнению Лиувилля, то величина ,. [c.367] Понятно поэтому, что такая микроскопическая энтропия ко второй части II начала термодинамики отношения не имеет. Если же для построения энтропии использовать офубленную функцию распределения, то положение существенно меняется, так как в офубленном описании релаксационные процессы, происходящие в неравновесной системе, становятся явными. [c.368] Вернуться к основной статье