ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Гармонические волны в узкой трубе . 63. Ограниченные трубы. Собственные колебания в ограничениых трубах из "Общая акустика " Цилиндрическую трубу с абсолютно жесткими стенками можно. рассматривать как длинную линию, поскольку вдоль такой трубы может бежать одномерная волна любого профиля. В широких трубах могут распространяться также и неодномерные волны, но если труба достаточно узкая, распространение других волн невозможно всякое неодномерное возмущение быстро затухает вдоль трубы. Термин узкая труба имеет относительный смысл в гл. VIII мы покажем, что для звука с длиной волны Я, труба прямоугольного сечения со стороной I будет узкой при Ь Я/2, а круглая труба радиуса а будет уакой при а 0,61Я,. [c.202] Если труба очень узкая, т. е. L Я/2 или а 0,61Я, то, как мы уже упоминали в 52, распространение волны в ней не зависит от того, прямая ее ось или изогнутая или даже имеет изломы во всех случаях давление и скорость частиц, оставаясь практически постоянными по всему сечению трубы, зависят только от одной координаты — расстояния, отсчитываемого вдоль оси трубы. Скорость волн, отсчитываемая вдоль оси трубы с жесткими стенками, всегда равна скорости звука в неограниченной среде ). [c.202] Если труба не узкая, то считать ее длинной линией можно, только если труба прямая и только для плоской волны, бегущей вдоль оси трубы в такой трубе возможны, однако, и волны других типов. [c.202] В каждое из выражений (62.1), (62.2) и (62.3) входят четыре произвольные постоянные вещественные и мнимые части величин Л и В или Л и а. [c.203] Фазу комплексной амплитуды бегущей волны можно изменить как угодно, как переносом начала отсчета времени, так и переносом начала отсчета координат для бегущей волны таким подбором начала отсчета всегда можно получить, например, вещественную амплитуду. Для стоячей волны переносить начало отсчета координат нельзя, не меняя формы записи (например, при смещении начала координат на четверть волны функция os kx переходит в sin kx) начало отсчета определено с точностью до целого кратного длины волны. [c.203] Обычно запись (62.1) (при 5 = 0 или Л = 0) применяют для бегущих волн, а запись (62.2) и (62.3) — для стоячих волн, хотя, как указано выше, можно, пользуясь комплексными постоянными, переходить от одной формулы к другой. Но при выборе вещественных значений амплитуд и фаз термин стоячая волна по отношению к записи (62.2) или (62.3) или термин бегущая волна по отношению к записи (62.1) имеют обычный смысл. В дальнейшем будем считать, что амплитуды и фазы вещественны. [c.203] Таким образом, разбиение данной волны на стоячую и бегущую неоднозначно. Парадокса с направлением переноса энергии нет, так как потоки энергии в данном случае не аддитивны мы видели в 39, что аддитивность имеет место только для бегущих волн. Перенос энергии (в той степени, в которой о нем можно говорить для гармонических волн) будет происходить в.ту сторону, для которой модуль амплитуды А или В больше. [c.204] В узкой неограниченной трубе, как и в неограниченной среде, могут существовать свободные гармонические волны любой частоты, как бегущие, так и стоячие. Иначе обстоит дело с волнами в конечном отрезке трубы, закрытом крышками, через которые звук не проходит. В таком отрезке трубы возможны только стоячие волны, и притом только определенных дискретных частот. Эти стоячие волны называют собственными колебаниями трубы. Основная задача о звуке в отрезке трубы заключается в нахождении этих дискретных частот собственных колебаний. [c.204] Начнем с простейшего случая труб, закрытых абсолютно жесткими или абсолютно мягкими крышками. Конечно, осуществление таких крышек возможно только с некоторой степенью точности практически крышка может быть только достаточно жесткой или достаточно мягкой, в том смысле, что дальнейшее увеличение сте- -пени жесткости или податливости крышки уже не меняет заметно искомые частоты стоячих волн. Для труб, заполненных газом, осуществление достаточно жестких крышек труда не представляет. Для жидкости крышка из твердого материала будет достаточно жесткой только при достаточной ее толщине заметим, что при заполнении трубы жидкостью возникает также и вопрос о достаточной степени жесткости боковых стенок (см. ниже, 68). [c.204] Абсолютно мягкой крышкой явится, конечно, граница, с вакуумом. Но такая граница неосуществима для газов. Почти абсолютно мягкая крышка узкой трубы осуществляется гораздо проще — открыванием конца трубы практически давление (звуковое, а не атмосферное ) у открытого конца трубы равно нулю (расталкивать частицы среды в стороны в неограниченной среде легче, чем продвигать в одном направлении столб среды длиной порядка длины волны). Все же давление у открытого конца не в точности равно нулю.. Мы еще вернемся к этому вопросу при расчете излучения звука открытым концом трубы. [c.204] На рис. 63.1 показаны распределения амплитуд давления и скорости частиц для трех первых номеров колебаний. [c.205] Собственное колебание наименьшей частоты называют основным тоном, колебания высших частот — обертонами. В трубе с жесткими крышками частоты обертонов относятся к частоте основного тона как целые числа такие обертоны называют гармоническими. [c.205] Из свойств ортогональности и полноты набора собственных колебаний в трубе следует, что любое свободное колебание в трубе можно однозначно представить как суперпозицию собственных колебаний, взятых с теми или иными амплитудами (см. 66). [c.205] Распределение амплитуд давлений и скоростей частиц — такое же, как распределение амплитуд скоростей и давлений соответственно в трубе с жесткими крышками. Частоты собственных колебаний оказываются такими же, как и в трубе той же длины с жесткими крышками. Обертоны открытой трубы также гармонические. Выполняется также условие ортогональности всех собственных колебаний, и они образуют полную систему функций других гармонических колебаний в трубе быть не может. [c.206] Органные трубы делают двух типов открытые с обоих концов ( открытые трубы ) и открытые с одного и жестко закрытые с другого конца ( закрытые трубы ). Открытый конец равносилен абсолютно мягкой крышке. Поэтому при игре на органе в открытых трубах возбуждается весь набор гармонических обертонов основного тона, а в закрытых — только нечетные обертоны. Это приводит к характерному различию тембров этих двух типов труб. [c.206] Это есть частотное уравнение колебаний в трубе с заданными проводимостями крышек. [c.207] Отсюда видно, что показатель.экспоненты должен быть целым кратным 2яг. [c.208] На рис. 64.2 показано, как решать графически это трансцендентное уравнение для кЬ. Значения кЬ для последовательных собственных колебаний найдутся как абсциссы точек пересечения последовательных ветвей тангенсоиды tg кЬ с прямой, угловой коэффициент которой равен взятому с обратным знаком отношению двух коэффициентов упругости коэффициента упругости рс /1-столба среды единичного сечения длины L и удельного коэффициента упругости X крышки. [c.209] Интересен случай крышки, очень массивной по сравнению с массой среды в трубе ц pL. Тогда, как видно на графике, первое значение для кЬ (пересечение с пунктирной линией) может быть очень мало по сравнению с единицей, а значит, частота этого колебания низкая, так что на длине трубы укладывается малая доля длины волны. Остальные же колебания почти не изменят своих частот по сравнению со случаем абсолютно жесткой второй крышки, и практически можно считать, что они по-прежнему будут образовывать гармонический ряд обертонов. В подобном низкочастотном колебании среда в трубе находится в квазйстатическом режиме и действует как пружина. [c.210] Для обеих абсолютно жестких крышек график вырождается в прямую, совпадающую с осью абсцисс. Для обоих свободных концов трубы график вырождается в прямую -1-я или —я. Для одного абсолютно жесткого и другого открытого конца трубы график совпадает с прямой - -nl2 или —я/2. [c.211] Вернуться к основной статье