ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Пристраивание плоской волны в среде к бегущей волгдне давления на плоскости из "Общая акустика " Теперь вернемся к вопросу о пространственном спектральном разложении волн. В 24 мы упоминали, что если известно распределение поля гармонической сложной волны на какой-либо плоскости, то распространение этой волны удобно изучать, разлагая ее на суперпозицию гармонических плоских волн. Пусть на плоскости задано распределение давлений или нормальных скоростей частиц. Тргда, как известно из теории дифференциальных уравнений, в отсутствие волн, приходящих из бесконечности, поле в полупространстве, прилегающем к плоскости и не содержащем источников звука, определяется по заданному полю на границе единственным образом. [c.87] Отсутствие источников проверяется тем, что волновое уравнение удовлетворяется во всем полупространстве. Приход волн из бесконечности имеет следующие признаки для плоских волн признаком прихода из бесконечности является отрицательность компоненты волнового вектора вдоль нормали к плоскости, обращенной внутрь данного полупространства. Для полей более сложной формы признаком наличия волн, приходящих из бесконечности, служит следующее если в среде есть сколь угодно малое затухание, то для создания конечного поля на данной плоскости поле на бесконечности должно было бы быть бесконечным. Поэтому достаточно проверить, как будет вести себя на бесконечности поле, если, сохраняя поле на данной плоскости, ввести слабое затухание в среду. Это можно сделать, приписывая в выражениях для волн волновому числу малую положительную мнимую часть, что равносильно, как увидим в гл. XII, наличию малого затухания звука в среде. Если в результате этого амплитуда той или иной волны будет стремиться к бесконечности-по мере удаления от плоскости, то такая волна будет прихо- дящей. [c.87] Будем ниже рассматривать случай, когда приходящих волн нет. Поле в полупространстве можно тогда считать полем, излученным заданным распределением давлений или нормальных скоростей частиц на плоскости. Давления можно осуществить силами, перпендикулярными к плоскости и распределенными с требуемой плотностью. Нормальные скорости частиц можно создать, сообщая соответственные нормальные скорости точкам плоскости. [c.88] Схема нахождения поля в полупространстве в виде суперпозиции плоских волн такова. Пусть задано гармоническое поле на плоскости (давление или нормальная скорость) как некоторая функция двух координат. Разложим заданное распределение. давления или нормальной скорости в двойной ряд (или интеграл) по Фурье. Компоненты разложения будут иметь вид (опускаем амплитуду) ехр (—mt + + щу), т. е. будут представлять собой двухмерные плоские волны одной и той же частоты, бегущие по плоскости Z = О с разными скоростями. Если удастся к каждой такой двухмерной волне пристроить уходящую от плоскости трехмерную волну (на это можно надеяться потому, что каждая трехмерная волна создает на плоскости двухмерную волну как свой след), то суперпозиция всех найденных уходящих волн 5удет иметь на плоскости заданное распределение давлений (или. Нормальных скоростей) и явится, в силу теоремы единственности, искомым разложением поля в полупространстве на плоские волны. [c.88] Наконец, решение (30.3) соответствует отражению на данной плоскости волны, пришедшей из бесконечности, с коэффициентом отражения, равным Л/(1 — Л). Таким образом, все три задачи отвечают вполне реальным ситуациям, каждая из которых дает на плоскости одно и то же поле выбор решения определяется не только распределением давления на плоскости, но и условиями задачи в целом. Мы выбрали условие отсутствия приходящих волн это уже определяет выбор решения (30.1) однозначно. [c.89] Попытаемся теперь пристраивать уходящие плоские волны к другим распределениям давления на исходной плоскости, причем больше не будем оговаривать подразумеваемое в дальнейшем требование ухода волны на бесконечность. [c.89] Здесь I — волное число двухмерной гармонической волны ча-, стоты (О, бегущей в плоскости z = О вдоль оси х. Для того чтобы пристроить к этой бегущей волне плоскую волну в пространстве, вспомним ( 17), что след любой гармонической плоской волны на плоскости есть двумерная волна с той же частотой и амплитудой давления и с волновым числом, равным проекции волнового вектора k пространственной волны на плоскость. Значит, в нашей задаче есть проекция на плоскость z = О волнового вектора искомой волны. [c.89] Можно попытаться продолжить заданное распределение давлений на плоскости в виде волны в полупространстве и для более сложных случаев. В самом деле, при известных ограничениях заданное распределение давления, меняющееся с течением времени по гармоническому закону, можно разложить на плоскости в ряд или в интеграл Фурье по координате. Волна, пристроенная к такому распределению, представится суперпозицией спектров, соответствующих каждой из бегущих волн разложения Фурье. [c.90] Вернуться к основной статье