ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Групповая скорость. Распростр-ранение узкополосного сигнала из "Общая акустика " Ответ на этот вопрос зависит от акустической ситуации. Если известно поле данной гармонической волны на плоскости, то в качестве стандартного набора можно взять плоские гармонические волны (мы увидим в 33, что это возможно только при некотором обобщении понятия плоских волн), если известно поле на сфере, то удобно производить разложение в спектр по набору так называемых сферических волн, и т. п. В данной главе рассмотрим разложение поля по плоским волнам. Для этого теперь изучим подробно плоские волны и их обобщения. [c.73] В плоской гармонической волне зависимость от координат в данный момент времени также является синусоидальной, как и временная зависимость в каждой данной точке. Фаза е комплексной амплитуды волны окажется существенной, только если придется иметь дело одновременно с несколькими волнами. Имея дело только с одной волной, всегда можно выбрать начало отсчета времени, например, так, чтобы амплитуда волны была вещественна (е = 0). [c.74] Переходя к декартовой системе координат, в котор ой направляющие косинусы волнового вектора равны os а, os р, os у. [c.74] Часто располагают какую-либо координатную плоскость (например, плоскость хг) параллельно волновому вектору данной плоской волны. Тогда движение не зависит от третьей координаты (у) и волну можно записать в виде р = ехр ik x + ik z), где kx= k os 0, = k sin 0. Угол 0 между волновым вектором и осью X называют углом скольжения данной волны Относительно оси X или относительно плоскости ху. [c.75] Спектральный подход к решению задач, акустики требует нахождения всех монохроматических волн, способных распространяться в данной среде. В принципе это можно сделать, решая дисперсионное уравнение относительно ю или относительно к (фактически такое решение может оказаться очень трудным). Если решение получено, т. е. известно а = а к) или к = к (а), то фазовая скорость получается в виде с = (л/к (ю) или с = = (О к)/к— как функция либо частоты, либо волнового числа. Вообще для любого линейного уравнения для волн (р) = О всегда имеет место дисперсия случай волнового уравнения, когда дисперсия отсутствует, — исключение, но исключение очень важное это, как мы видели, уравнение волн в свободной неограниченной среде. [c.78] Другой тип дисперсии обусловлен границами среды, в которой распространяется волна, и не зависит от свойств среды. Этот тип с поглощением звука не связан и целиком определяется кинематикой волнового движения в ограниченной среде. Такова, например, рассчитанная выше дисперсия скорости изгибных волн в стержне. Физическая картина дисперсии для изгибных волн заключается в том, что коэффициент упругости стержня растет при уменьшении длины изгибаемого участка поэтому с уменьшением длины волны, т. е. с увеличением частоты, скорость волн растет. Дисперсия наблюдается и при распространении волн в жидких средах, заключенных в трубах, и т. д. Более подробно эти вопросы рассмотрены в гл. VIII. [c.79] Монохроматическая волна не может передать никакой информации, никакого сигнала в такой волне в каждой точке происходили, происходят и всегда будут неизменно происходить гармонические колебания. Чтобы передать сигнал при помощи волны, необходимо, чтобы в ней что-нибудь менялось, чтобы волна была модулирована тем или иным способом, например, чтобы она длилась ограниченный промежуток времени. Это уже не будет монохроматическая волна такой сигнал можно рассматривать как интерференционную картину, образованную суперпозицией гармонических волн разных частот. Информацию передаст именно эта интерференционная картина. [c.79] Но в диспергирующей среде сама интерференционная картина меняется, так как компоненты разных длин волн распространяются с разной скоростью. Таким образом, в диспергирующей среде передаваемая информация оказывается искаженной. [c.79] Какова глубина этого искажения и в какой мере все-таки можно передавать сигнал в диспергирующей среде, можно выяснить при помощи фурье-представления волны. [c.79] В отсутствие дисперсии весь набор гармоник просто сместится на одно и то же расстояние как одно целое, и в результате профиль волны также сдвинется на то же расстояние, сохранив свою форму. Но в диспергирующей среде смещения отдельных синусоид различны, так как различны их фазовые скорости. Синусоиды расфа-зируются друг с другом по мере распространения, и их суперпозиция по истечении некоторого времени даст уже новую интерференционную картину — новый профиль, другой формы, чем исходный. Сигнал, распространяясь, меняет свою форму. Поэтому понятие скорости к такому сигналу неприменимо. [c.80] Из сказанного ясна связь между возможностью передачи информации при помощи волны и применимостью к волне понятия скорости. [c.80] Все же удается найти некоторый элемент интерференционной картины, который не меняется при распространении и при наличии дисперсии, если спектр сигнала достаточно узок, т. е. если длины волн (и частоты) компонент данной волны мало отличаются друг от друга. Этот элемент — огибающая интерференционной картины. Если спектр узкий то, как сейчас покажем, огибающая сигнала не меняет своей формы и перемещается с некоторой определенной скоростью, хотя сам сигнал внутри огибающей свою форму меняет. [c.80] Скорость огибающей называют групповой скоростью. Вводя групповую скорость, мы обобщаем понятие скорости для волн сохраняет форму все же не волна, а только ее огибающая. Но это дает нам возможность отождествлять форму огибающей, подобно тому как в бездисперсионной среде мы могли отождествлять форму самой волны. И это снова дает нам возможность передавать информацию при помощи волн, даже в диспергирующих средах. [c.80] Найдем вначале групповую скорость для наглядного и наиболее простого случая биений между двумя монохроматическими волнами. Пусть составляющие имеют длины волн и Яа и фазовые скорости и с . Положим для определенности Яг и с ( нормальная дисперсия ). Чтобы найти скорость огибающей, применим метод остановки движения ко второй составляющей и найдем скорость огибающей по отношению к новой системе координат, движущейся относительно среды со скоростью с складывая относительную скорость огибающей с с , получим искомую скорость огибающей относительно среды, т. е. групповую скорость и. [c.81] Эта формула остается справедливой и при любом другом соотношении между длинами волн и скоростями составляющих волн. [c.82] И в этом случае огибающая суперпозиции волн (выражение в фигурных скобках) также распространяется, не изменяя своей формы, со скоростью и, в то время как несущая бежит внутри огибающей. [c.84] Аналогично из (26.8) и (26.9) найдем, что групповая скорость гравитационных волн вдвое меньше фазовой скорости. В обоих примерах групповая скорость зависит от частоты (длины волны). [c.84] Уточним, что значит требование достаточной узости спектра волны. Групповая скорость получается одинаковой для любой пары составляющих только приближенно, в результате приравнивания отношений конечных разностей (со— а о)/(к— к ) производной йа /йк в точке ко. В действительности эти отношения вообще отличны от производной, и поэтому огибающая будет постепенно менять свою форму, причем тем быстрее, чем шире спектр волны. Для того чтобы найти, в течение какого времени и на каком расстоянии можно еще пренебрегать изменением формы огибающей для волны с заданной шириной спектра, учтем следующий член разложения отношения (со— а о)/(к—ко) по малой величине к — ко. [c.85] Воспользуемся теперь понятием групповой скорости для того, чтобы выяснить, как передается в диспергирующей среде волновой сигнал с произвольно большой шириной спектра. Это можно сделать, хотя для такого сигнала в целом нет какой-либо определенной групповой скорости и огибающая сигнала изменяется на рассматриваемом участке пробега волны. [c.86] Дисперсия скорости звука в атмосферё, в океане и в земной коре обусловлена неоднородностью среды и влиянием границ (дно и поверхность воды, земная поверхность). Эта дисперсия оказывает сильное влияние на распространение звука. При распространении в море сигнал, приходящий по воде (звук взрыва приходит раньше всего по земной коре, скорость звука в которой много больше, чем скорость звука в воде), начинается с волн, обладающих наименьшей фазовой скоростью, так как именно эти волны имеют наибольшую групповую скорость, а время прихода волн данной частоты определяется их групповой, а не фазовой скоростью. [c.87] Вернуться к основной статье