ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Комплексная запись гармонических волн из "Общая акустика " Амплитуда р и начальная фаза е колебаний зависят только от координат точки. Например (см. гл. IX), в сферически симметричной расходящейся гармонической волне р = onst/r и г = kr. Из (22.1) следует, что скорость частиц, сжатие и другие характеристики волны в каждой точке также меняются с течением времени по синусоидальному закону. [c.67] В уравнение Гельмгольца входят производные только по координатам таким образом, для гармонических волн зависимость от времени можно исключить из уравнений. [c.67] Величину р в (22.4) называют комплексной амплитудой колебания она зависит только от координат и характеризует амплитуду р и фазу е колебаний среды в различных точках. Уравнению Гельмгольца удовлетворяют как полное решение (22.4), так и его комплексная амплитуда р в отдельности. Вещественная же амплитуда р уравнению Гельмгольца не удовлетворяет. [c.68] Введенные комплексные гармонические волны удобны при расчетах, потому что в них входит только одна (экспоненциальная) функция вместо двух различных тригонометрических функций (косинус и синус), переходящих друг в друга при дифференцировании и интегрировании. Следует, однако, иметь в виду, что сами комплексные решения уравнения Гельмгольца не имеют никакого физического смысла. Действительно, всякая физическая величина, всякое показание прибора, например отсчет по тому или иному индикатору, всегда есть вещественное число. Физический смысл имеет только вещественная часть комплексной волны. Для перехода от комплексной волны к имеющей физический смысл вещественной волне необходимо предварительно восстановить опущенный временной множитель а затем взять от комплексной величины вещественную часть. Чтобы вещественная часть результата операций над комплексными волнами равнялась результату тех же операций над вещественными частями комплексных волн, эти операции должны быть линейными допустимо сложение, вычитание волн, дифференцирование их по времени и по координатам. Но, например, вещественная часть произведения не равна произведению вещественных частей комплексных чисел. Поэтому энергию или мощность волны нельзя получить непосредственно перемножением комплексных величин, характеризующих волну, а приходится возвращаться к вещественной записи (см. гл. IV). [c.68] При изучении гармонических колебаний и волн весьма удобно пользоваться также отношениями комплексных величин. Для гармонического процесса такое отношение не зависит от времени (множители e- сокращаются). Фаза полученного отношения равна разности фаз делимого и делителя. Если обе величины одной природы, например падающая на препятствие волна и отраженная волна, то модуль отношения равен отношению вещественных амплитуд этих волн. Весьма полезными оказываются и отношения величин различной природы, например давления и скорости (так называемый импеданс) и т. д. В дальнейшем мы часто будем встречаться с такими величинами. [c.68] Отсюда видно, в частности, что движение каждой частицы в гармонической волне — плоское скорость частицы параллельна векторам Ур и Уе, а компоненты вдоль этих векторов сдвинуты по фазе на четверть периода. В разных точках плоскость движения, частиц может быть разной. [c.69] При переходе к вещественной части результат получится один и тот же независимо от знака частоты волны, различающиеся только знаком частоты, совпадают как физические объекты, несмотря на различную математическую запись. [c.69] Вернуться к основной статье