ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Принцип суперпозиции воли . 16. Волновое уравнение из "Общая акустика " Полная система уравнений гидродинамики удовлетворяется при любых движениях жидкости значит, звуковые волны также удовлетворя10т этим уравнениям. Это — точные уравнения. Но акустика интересуется только малыми колебаниями среды, и поэтому точность уравнений гидродинамики в акустике — это не только лишнее, но даже и вредное обстоятельство, поскольку оно связано с большой сложностью этих уравнений, в частности с их нелинейностью. Так как в дальнейшем мы будем интересоваться только звуковыми волнами малых амплитуд, то эти уравнения можно заменить более простыми приближенными уравнениями, решения которых будут тем не менее мало отличаться от решений точных уравнений. Особенно важно, что упрощение позволит прийти к линейным уравнениям. [c.36] В 9 мы по существу пользовались уже подобным упрощением, которое позволило найти в качестве приближенного решения плоские волны, бегущие без изменения формы, и определить скорость таких волн. Теперь сделаем подобные же упрощения в полной системе точных уравнений гидродинамики именно, отбросим в них те члены, которые для звуковых волн оказываются малыми по сравнению с остальными членами. Для того чтобы можно было выполнить такое разделение различных членов, оценим раньше всего входящие в уравнения гидродинамики производные по времени и по пространству от величин, характеризующих волну (давление, скорость частиц и т. д.). Так как речь идет не о вычислениях, а об оценках производных, расчет можно делать грубо, по порядку величины. Попутно получим такую же грубую оценку применимости понятия малые амплитуды , которой уже пользовались в 9, а также грубую оценку отбрасываемых малых величин в уравнениях. [c.36] пусть Т — характерный промежуток времени для данной волны, т. е. промежуток времени, в течение которого данная величина в волне (например, давление) меняется на величину своего порядка. Тогда частную производную этой величины по времени можно оценить как отношение ее наибольшего значения к промежутку времени Т. (Частную производную какой-либо величины по времени d/dt будем в дальнейшем обозначать иногда индексом t или точкой над символом дифференцируемой величины.) Для гармонической плоской волны наибольшее значение производной по времени какой-либо величины равно амплитуде самой величины, умноженной на угловую частоту о. Значит, для гармонической волны за характерный промежуток времени следует принять 1/ = То/2п, где То— период волны. [c.36] Пользуясь этими оценками, можем теперь сравнить между собой различные члены в точных уравнениях гидродинамики и, сохраняя только наибольшие члены, упростить эти уравнения. [c.37] Уравнение (13.2) линейно относительно величин р v V. Упрощение в том и состоит, что приближенное уравнение оказывается линейным по отношению к интересующим нас величинам. Для этого, как мы видели, достаточно отбросить в уравнении члены порядка ы/L (и высшего порядка) по отношению к сохраняемым, порядок которых принят за единицу. [c.37] Система уравнений (13.2), (13.7), (13.8) — полная система линеаризованных уравнений акустики. [c.39] Линеаризованную связь между давлением и сжатием можно рассматривать как обобщенный закон Гука для объемного сжатия среды с модулем упругости /С = рс = 1/р. В следующем параграфе мы найдем, как связана сжимаемость со статическими свойствами среды. [c.39] Любое частное решение уравнений (13.2) и (13.12) есть свободная волна в среде. [c.40] Уравнения (13.2) и (13.12) — полная система линейных общих уравнений акустики для давления и скорости частиц. Мы видим, что среды можно отличить друГ от друга акустическим способом, только если их плотности или сжимаемости не одинаковы. [c.40] Во всем дальнейшем мы будем пользоваться этой полной системой, решения которой тем меньше отличаются от соответственных решений точных уравнений гидродинамики, чем меньше величина utL. В плоской волне критерий u L 1 совпадает с критерием малости сжатия (s 1) и с критерием малости числа Маха (М = v С 1)- Действительно, в плоской бегущей волне отношение ит равно скорости звука, и следовательно, и/Ь = v = = S = М. Оба критерия совпадают по порядку во всех случаях, когда звуковое поле похоже на плоскую волну. [c.40] Но иногда требование М 1 оказывается недостаточным число Маха и сжатие среды могут быть малыми, в то время как смещения частиц не будут малы по сравнению с характерным размером движения жидкости. Это получится, если пространственная неоднородность поля определяется не волновым характером процесса, а геометрией задачи. Таково, например, движение в сферической волне вблизи центра (расхождение волны) или протекание жидкости в трубе переменного сечения. В этих случаях масштаб пространственной неоднородности не зависит от скорости звука и сохранился бы даже при полной несжимаемости среды. При таких движениях конвективная производная может не быть малой по сравнению с локальной производной даже при малом числе Маха поле быстро меняется в пространстве независимо от скорости временного изменения. Особенно нагляден пример установившегося протекания жидкости в трубе локальная производная любой величины, характеризующей течение, равна нулю во всех точках, а конвективная производная отлична от нуля критерий малости числа Маха при малой скорости течения будет выполнен, но критерий u/L 1 нарушится и линеаризацию уравнений произвести будет нельзя. Только требование u L 1 универсально для любой формы волны и для любой сжимаемости среды. [c.40] Уравнения (13.2) и (13.12) применимы не только к однородным средам, но и ко всем средам, свойства которых изменяются от точки к точке непрерывно. В уравнении движения (13.2) важно только, какова плотность данной частицы, а плотность других частиц несущественна. Аналогично в уравнении (13.12) важна сжимаемость среды только в данной точке. [c.40] Мы установили ограничение величины возмущения сверху, позволяющее линеаризовать уравнения гидродинамики. Но в акустике появляется дополнительное ограничение величины возмущения, относящееся к применимости самого понятия сплошной непрерывной среды. Это требование ограничивает величину возмущения снизу. В самом деле, требования применимости картины непрерывной сплошной среды всегда включают масштаб движений. Одним из масштабов движения в акустике является длина волны звука. Человек ведет разговор на звуковых волнах, длина которых варьирует от 10 см до 4 м высокочастотные эхолокационные сигналы летучих мышей имеют длину волны в несколько миллиметров. По отношению к этому масштабу все среды всегда можно считать сплошными и непрерывными, за исключением только сильно разреженных газов, в которых велика длина свободного пробега молекул. [c.41] Но в акустике есть и другой пространственный масштаб смещение частиц в волне. Обращаясь к этой величине, мы, оставаясь целиком в области классической физики, попадаем в микромир. [c.41] В самом деле, возьмем для определенности звук в воздухе при частоте, для которой слух человека наиболее чувствителен, — 2000—3000 гц. На болевом пороге — при воздействии мощного звука, слуховое восприятие которого сопровождается болевыми ощущениями, — смещения частиц достигают 0,1 мм и амплитуда скорости частиц доходит до 1 ы/сек. Но громкий разговор на расстоянии 1 м от говорящего человека создает колебания с амплитудой всего в сотню-другую ангстрем (3—4% длины световой волны), причем скорость частицы меньше 1 м в час. Наконец, при едва слышном звуке на пороге слышимости молодого человека (с возрастом слух ухудшается) частицы среды колеблются с амплитудой около 5 10 см и с амплитудой скорости около 2 м в год (амплитуда звукового давления 3 10 бар). Заметим, впрочем, что ускорения частиц, даже при очень слабых звуках, не так уж малы по обычным масштабам даже на пороге слышимости ускорение частиц достигает примерно 1 мм/сек (при болевом пороге ускорение очень велико оно1 доходит примерно до ЮОО -, т. е. до 10 км/сек ). [c.41] Теперь ясно, какова добавочная граница применимости картины сплошной среды в акустике амплитуда звуковой волны должна быть много больше броуновского движения объема среды, малого по сравнению с длиной волны звука. Таким образом, среду нельзя считать сплошной для очень слабых звуков. Новое требование появилось потому, что в акустике встречаются с исключительно малыми смещениями среды, в то время как в обычной гидродинамике сами движения среды макроскопичны. [c.43] Например, для воздуха при нормальных условиях Ро = = 10 бар, Ро = 1,3-10 г/см и V = 1,4. Это дает для скорости звука значение Свозд 3,3.10 см ек, что хорошо согласуется с опытом. [c.45] Из (14.5) следует, что скорость звука в воздухе (или в другом газе) не зависит от невозмущенного давления, поскольку невозмущенная плотность Ро пропорциональна этому давлению Ро- Изменение же температуры газа влияет на скорость звука согласно уравнению состояния отношение Ро/ро пропорционально абсолютной температуре следовательно, скорость звука в газе пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры. При комнатной температуре скорость звука растет примерно на 0,17% на каждый градус повышения температуры ). [c.45] В свободной атмосфере при поднятии на высоту меняются как плотность и давление, так и температура воздуха, но на скорость влияет только изменение температуры. В обычных условиях в тропосфере температура воздуха падает с высотой, значит, уменьшается и скорость звука. Поэтому звуковой барьер (резкое нарастание сопротивления воздуха при достижении самолетом скорости звука) на высоте наступает при меньшей скорости полета, чем у земной поверхности. [c.45] Для нормальных условий 270° С и для воздуха получается Т я 0,78 10 р. На пороге слышимости амплитуда колебаний температуры составляет 1зсего только около 2,5 стомиллионной доли градуса (на болевом пороге — около 0,1°). Эти малые изменения температуры и создают двадцатипроцентную разницу между лапласовой и ньютоновой скоростями. [c.46] Вернуться к основной статье