ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Собственные Я0пр-колебания биконического резонатора из "Колебания и волны в электро-динамических системах с потерями " (г) —некоторая функция, отличная от нуля на интервале Осгс/ за исключением, может быть, конечного числа изолированных точек, е,- — постоянные множители. [c.101] Собственные значения задачи (2.3.6) определяют приближенно (так как N конечно) резонансные частоты колебаний резонатора а = а ( = —двумерный индекс типа колебаний). Собственные вектора задачи (2.3.6) в соответствии с (2.3.5) определяют распределения полей собственных мод резонатора. [c.103] Изложенное выше дает определенную основу и для рассмотрения некоторых классов незамкнутых колебательных систем — открытых (рис. 2.5, а, б) и проходных (рис. 2.6, а, б) резонаторов, в частности бочкообразных и двухзеркальных открытых резонаторов в виде тел вращения, основным механизмом возбуждения высокодобротных колебаний в которых является образование внешних каустик (обозначены буквой К) (см. рис. 2.5). Если мысленно продолжить металлическую границу (пунктирные линии на рис. 2.5) в область экспоненциально слабого поля, то при этом структура поля практически не изменится. Это означает, что резонансные частоты (действительные части комплексных собственных частот) и распределения полей с достаточной точностью могут быть найдены по описанному выше алгоритму. Расчет радиационной добротности представляет отдельную задачу для ее решения может быть использована, например, импедансная трактовка [13] либо другие методы, причем полученная ранее информация о структуре полей и резонансных частотах системы может быть здесь весьма полезна. [c.104] Приведенное выше построение проекционного алгоритма носит формальный характер и требует строгого доказательства сходимости при N- 00, устойчивости и т. д. Эти свойства алгоритма определяются свойствами системы координатных функций Ф, полнота, сильная минимальность), установлением которых мы сейчас займемся. [c.105] Имеется в виду радиационная добротность. [c.105] Сформулируем следующие вспомогательные утверждения Утверждение 1. Если (г) ограничена и почти всюду на [О, /] отлична от нуля, то семейство ЕJ = роФх) полно в 2 (У) и Ех линейно-независимы в V. [c.106] Утверждение 2. Система функций rot EJ полна в 2 2 V) и rot E t, линейно-независимы в V. [c.106] Утверждение 3. Матрицы 2)1, 8 положительно определены. Доказательства их приведены в [12]. [c.106] Если разыскиваются собственные значения номера г(г 2), то цробные функции должны быть ортогональны г—1 первым собственным функциям краевой задачи (2.3.1), (2.3.2). [c.106] Описанный алгоритм реализован в виде программы для ЭВМ ЕС-1020 . Задача на собственные значения (2.3.6) решалась по стандартной программе NROOT (это возможно ввиду симметричности S3 и утверждения 3 настоящего пункта). Вычисление интегралов в матричных элементах производилось по стандартной программе решения дифференциальных уравнений методом Хем-минга или Рунге-Кутта 2). Контроль точности осуществлялся авто матически. [c.107] Программа разработана под руководством О. Д. Луговского. [c.107] Результаты расчетов для сферы (колебание типа Нои) при различных набО рах базисов приведены в табл. 2.2 (ЛГ=0,01, е,= 1). Точные решения, заимствованные в [5, 17], в таблице обозначены символом М- оо, Р- оо. Как g показывают эти числовые данные, метод уже при малых размерностях базиса приводит к практически точному решению, причем, что существенно, не только для собственной частоты, но и для добротности колебания. Для проверки правильности выбора величины АТ был произведен контрольный расчет при Л7 = 0,03 М = 2, Р = 3). При этом kt) = = 80,0835 и 9 = 4,46069, что лишь незначительно отличается от данных, приведенных в табл. 2.2. [c.108] Рассмотренные в настоящем параграфе примеры носят методический характер, однако они в достаточной степени иллюстрируют общие возможности описанного проекционного алгоритма и основные особенности его реализации. В следующем параграфе мы будем использовать данный алгоритм для расчета электродинамических характеристик биконического резонатора. [c.109] Будем рассматривать симметричный усеченный биконический резонатор, профиль которого показан на вставке к рис. 2.8. [c.109] Вычисленные согласно (2.4.5) верхние и нижние границы 12 даны на рис. 2.9 точечными линиями. Сравнение их с данными расчетов по проекционному алгоритму показывает, что отличие их от рассчитанных проекционным методом не превышает 1,7% Высокая точность этих оценок сохраняется во всем диапазоне исследованных углов 00, т. е даже за пределами формальной применимости данного подхода, ограниченными условием 0о /2 с1. [c.113] Если учесть, что при достаточно малых 0о упр 1. то (2.4.7) можно упростить и свести к (2.4.8). Тем самым формула (2.4.8) становится приближенно справедливой для любых типов колебаний Н опр. [c.114] Описанный подход нетрудно обобщить и на некоторые другие задачи, представляющие интерес. Так, например, можно рассчитать усеченный биконус, несимметричный биконус, наконец, произвольное тело вращения с кусочно-линейной образующей (в двух последних случаях по сути дела следует использовать принцип сшивания полей конических частичных областей, приравнивая поля области I на контуре Т1,к полям области II на контуре Гз Условие применимости такого подхода — малость углов раствора всех конических участков. [c.115] Вернуться к основной статье