ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Нечеткие отношения предпочтения (НОП) Некоторые свойства, важные для принятия решений из "Нечеткие многокритериальные модели принятия решений " Отношение равноценности рефлексивно, то есть (х, х)=1, если оно непусто. Отношение строгого предпочтения асимметрично, то есть, если У) то ( /, х)=0. Обратное отношение обладает теми же свойствами, что и исходное (двойственность). Это нетрудно доказать. Некоторые авторы интерпретируют функцию принадлежности ц.я(лг, у) как степень, силу предпочтения решения х решению у по / . Мы думаем, что в этом нет криминала. Наоборот, такая содержательная интерпретация формального построения помогает в некоторых рассуждениях. [c.8] Для задач принятия решений очень важны следующие понятия, впервые введенные Орловским [42, 62] . [c.8] Это функция принадлежности решения х подмножеству решений, недоминируемых ни одним у Х, включая само х. [c.8] Это множество четко недоминируемых решений в X. В общем случае оно может оказаться и пустым. Очевидно, что УА о( ,) является четким подмножеством в X. [c.8] Определение 2.1. Если для некоторой пары решений (х, у) Е имеет место условие 1 (х, /)=(1 ( /, дг)=0, то назовем их равноценными. [c.8] Следующее утверждение покажет, что мы не случайно называем их равноценными. [c.8] Утверждение 2.1. Чтобы (х, у) Р, необходимо и достаточно выполнения условия 1 (дс, /)= (у, х)=0. [c.8] Доказательство. Пусть (х. у) Р - Тогда этой паре решении соответствует значение функции принадлежности 1 (дс, у). Причем из определения этой функции следует (х, у)= - (у, х). Откуда сразу получается условие (дс, /)= ( /, дг)=0. Теперь обратное рассуждение. Если для некоторой пары решений (х, у) Е выполняется условие 1 (дс, у)=у (у Д )=0, то это означает, что 1(дс, /)=ц((/, X). Следовательно, (х, у) Р, поскольку в этом случае (дс, /)= (х, у), что и требовалось доказать. [c.8] Определение 2.2. Решение х Х назовем макснмальным в X в соответствии с НОП Р, если не существует такого у Х, включая само х, для которого выполнялось бы условие (у, х) 6 Р , что соответствует ( (1/, дс) 0. [c.9] Доказательство. Пусть x X ( ). Зю означает, что в соответствии с формулой (3) и, следовательно 1 (у, х)=0 для всех у Х, включая само х. Таким образом, не существует у Х, для которого выполнялось бы условие (у, х) 0. В соответствии с определениями 2.2 и 2.3 это означает, что Обратное рассуждекие проводится аналогичным образом. Пусть х Хп (Р)- Это означает, что не существует у Х, включая само х, для которого выполнялось бы условие л ) 0. Следовательно, ( /,х)=0 для всех у Х, 1 (лс)=1 и x X (f ), что и требовалось доказать. [c.9] Следует отдать должное научной интуиции С. Орловского— фактически он впервые ввел множество Парето для нечетких задач принятия решений, правда, для случая одного НОП. [c.9] Таким образом, задача принятия решений описывается парой X, Р], причем для оценки конкретного правила выбора на эффективность используется которое по существу является множеством Парето. [c.9] Определение 2.4. Некоторое подмножество X sX назовем внешне устойчивым, если для любого y XjX найдется такое X 6 Хо что будет иметь место условие (х, у) О, то есть X, i/)6PS. [c.10] Во-вторых, в отношениях предпочтения за транзитивность обычно ответственна строгая часть отношения предпочтения, то есть Р . Это надо понимать так, что можно разбить исходное множество X на классы эквивалентности и на них ввести строгое отношение предпочтения, которое совпадает с Р . Учтено также, что при помощи ц (х, у) можно описать и равноценность решений (утверждение 2.1). И в третьих, данное определение прошло апробацию на материале данной монографии. Конечно, все сказанное не означает, что это определение идеально и вопрос о транзитивности в теории нечетких множеств снят. Это просто рабочее определение, которое, скорее всего, тоже подвергнется критике. Но определенные, достоинства у него есть. [c.10] Все эти определения транзитивности в какой-то мере взаи-мосздзаяны с олрэдгленигм 2.5. Мы нг будем подробно исследовать эту взаимосвязь, хотя это и интересный вопрос. Некоторые аспекты ее будут выявляться в процессе доказательств некоторых утверждений. [c.11] Утверждение 2.3. Если X конечно, а Р транзитивно в смысле определения 2.5, то соответствующее Х (ц) ф Q и внешне устойчиво. [c.11] Это означает, что ц (2, дс)=0 для всех г Х, в том числе, и для решения у. То есть 1 (1/ х)=0. Проведя аналогичное рассуждение, получим (1 (2, у)=0 для всех г Х, в том числе, и для решения X. То есть 1 (л , у) 0. А это и есгь условие равноценности решений X и у в смыслг определения 2.1, что и требовалось доказать. [c.12] Основным объектом исследования в дайной монографии являются нечеткие многокритериальные модели принятия решений. Причем одной из задач, которую нам предстоит решить, это определение множества Парето для данного класса задач принятия решений. К сожалению, формулы (2), (3) не могут быть использованы для этой цели. Необходим другой подход. Поэтому сейчас мы изложим результаты, которые дальше понадобятся нам непосредственно для, определения множества Парето в нечетких многокритериальных задачах принятия решений. [c.13] По аналогии с определением 2.6 можно определить согласованность двух четких отношений предпочтения или двух нечетких отношений предпочтения. Причем и для этих случаев будет справедливым утверждение 2.6. [c.14] Для введенного четкого отношения Р можно сформировать [15] следующие отношения Р , Р , а также множество Парето Хп (/ ). Подробно эти отношения не расписываем—это нетрудно сделать самому читателю. [c.14] Вернуться к основной статье