ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Группы виитов в кинематике н статике из "Винтовое исчисление и его приложения в механике " Для решения многих задач механики полезно иметь геометрическую интерпретацию объектов, которая позволяла бы производить непосредственно над этими объектами необходимые операции и получать наглядные результаты. С помощью приведенного ниже непосредственного геометрического изображения винтов решение ряда задач можно эффективно выполнять методами, сходными с классическими методами графической статики. [c.159] Вообразим произвольную систему скользящих векторов Яъ / 2. . Лп- Проведем некоторую секущую плоскость С (рис. 32), которая в дальнейшем будет играть роль плоскости изображения, и отметим точки а , а ,. . . , Оп пересечения прямых, на которых лежат указанные векторы. [c.159] Задавая в плоскости Q вектор г его положением и величиной, а также след р вектора р с приписанной ему величиной р, мы будем иметь однозначно определяемое для плоскости Q изображение винта (рис. 33). В частных случаях, когда прямая в плоскости Q бесконечно удалена, а также след бесконечно удален, мы будем иметь эквивалентные пары. Указанное изображение в свою очередь полностью определяет винт, т. е. величину его главного вектора, центральную ось и параметр. [c.160] Ввиду эквивалентности креста винту можно крестам давать обозначение соответствующих винтов и говорить об операциях непосредственно над крестами. [c.161] У орт-креста величина составляющей в плоскости изображения равна k = tg а, модуль главного вектора К1 + = 1/sin а, а инвариант — моменту вектора к относительно следа X. [c.161] Крестов не изменится, если передвигать параллельно к , ащ — параллельно к . [c.162] Двигая указанные точки до тех пор, пока не совместится с ки а Ха — с кг, мы получим вместо точек х , щ точки XI, Ха, и орт-кресты обратятся в скользящие орт-векторы. Но для взаимности двух скользящих векторов необходимо и достаточно, чтобы оси этих векторов пересекались, а в таком случае прямая ХхХа должна быть параллельна прямой В Ва, соединяющей концы векторов к и к , проведенных из общего начала Л (рис. 34, б). Это и будет необходимое и достаточное условие взаимности орт-крестов. [c.162] Задача 1. Построить орт-крест/С. являющийся линейной комбинацией орт-крестов Кг И /Сг, составляющая к которого проходит через заданную точку С. [c.163] Соединим прямой точки и Иа и найдем точку к пересечения этой прямой с прямой Точка к есть след искомого орт-креста К, так какими хх2= хх и точка принадлежит одновременно комбинациям (6.39) и (6.40), а соответствующая ей составляющая к для обеих комбинаций — одна и та же. [c.165] Последняя -определяется разделением отрезка на части, пропорциональные х- х и хх (рис. 36, б). [c.165] Вместо указанного чисто графического построения для решения задачи можно использовать условие (6.38), которое приведет к уравнению с одним неизвестным. [c.165] Решение. Сперва построим орт-крест L12, взаимный с орт-крестами Ki и Кг- Очевидно, что такой орт-крест можно получить, взяв за ось / 2 прямую, проходящую через х и х , а за точку —точку пересечения ki и кг- При этом величина /12 останется неопределенной. Ее можно определить из условия взаимности с Кз либо построением, указанным выше, либо составлением относительного момента орт-креста Lia и орт-креста Кз и приравниванием его нулю, после чего величина / а определится из уравнения с одним неизвестным. Задача решена. [c.165] Указанные здесь геометрические построения можно использовать в задачах пространственной статики и кинематики ). [c.166] Учение о группах винтов тесно связано с рассмотрением свойств движений твердого тела, обладающего тем или иным числом степеней свободы (от одной до шести), а также со свойствами систем сил, действующих на тело, в том числе сил реакции, если тело не свободно. [c.167] Самый общий вид перемещения твердого тела есть винтовое перемещение, характеризующееся осью винта, модулем его вектора и параметром. Модулем вектора при бесконечно малом перемещении служит элементарный угол поворота йср, параметром — отношение поступательного перемещения ф к ф задав винт его осью и комплексным модулем с главной частью, равной единице, и умножая комплексный модуль на ф, мы получаем кинематический винт — винт, выражающий бесконечно малое перемещение тела. [c.167] Зная винт перемещений, можно определить перемещение любой точки тела как момент винта относительно этой точки. [c.167] Перемещения всех точек тела, равноотстоящих от оси винта, направлены по касательным к винтовым линиям, построенным на оси винта и имеющим одинаковый шаг. Плоскость, нормальная к перемещению, является полярной по отношению к рассматриваемой точке в ней лежат все лучи комплекса, проходящие через эту точку. [c.167] Если тело может совершать перемещения вдоль п винтов / 1, / 2, , Яп., то возьмем какие-нибудь т из них (т п) и сообщим телу т винтовых перемещений по ним. Результирующее перемещение будет винтом предположим, что как бы мы ни меняли величины главных векторов их, т. е. величины элементарных поворотов, результирующий винт всегда будет отличаться от п — т остальных винтов. В таком случае п винтов независимы. Тело, способное совершать перемещения вдоль п независимых винтов, обладает свободой п-й степени. [c.168] Изучение геометрического распределения всех винтов, вдоль которых может перемещаться тело, обладающее сюбодой п-й степени, сводится, следовательно, к изучению распределения всех винтов, входящих в п-членную группу. В частности, винты, вдоль которых может совершать движение тело, имеющее три степени свободы, распределяются по гиперболоидам таким образом, что на каждом из гиперболоидов лежат винты одного и того же параметра среди них есть гиперболоид нулевого параметра, отвечающий чистым вращательным движениям тела. [c.168] Вернуться к основной статье