ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Комплексные скалярные функции и винт-функции винтового аргумента из "Винтовое исчисление и его приложения в механике " В нижеследуюш,ем изложении будет показано, каким образом известные понятия скалярной функции и вектор-функции векторного аргумента распространяются на функции винтового аргумента. Предполагается, что читатель знаком с основными определениями и формулами теории скалярного и векторного поля. [c.137] как и в предыдуш,их главах, мы будем исходить из задания винтов с помощью моторов, отнесенных к одной общей, раз и навсегда выбранной точке приведения О. [c.137] Чтобы установить некоторые свойства определяемой функции, выразим аргумент через комплексные координаты векторов в системе прямоугольных координат с началом в точке О, а затем применим формулы для функций комплексного скалярного аргумента, приведенные в главе И. Тем самым мы введем здесь поставленное ранее условие дифференцирования функции комплексного скалярного аргумента, а именно независимость производной от направления дифференцирования. Иными словами, условие аналитичности . [c.138] Мы сначала положим для простоты, что функция F становится вещественной, когда координаты вещественны, поэтому F (Гх, Гу, Гг) — вещественная величина. [c.138] В формуле (5.94) символ V обозначает известный оператор Гамильтона. [c.139] Пусть теперь каждому винту R будет отнесен другой винт. Функцию, определяющую это отнесение, назовем винт-функцией F (R) винта R. Как это уже было сказано, каждый винт Ri однозначно определяет мотор или комплексный вектор в точке О, поэтому определяемая здесь винт-функция одновременно является отнесенной к точке О мотор-функцией мотора, соответствующего винту-аргументу, приведенному к точке О. [c.139] Выражение (г -у)/ (г) представляет собой производную от вектора Р (г) по направлению вектора г , умноженную на величину вектора г . [c.140] Рассматривая выражения (5.94) и (5.98) для комплексной скалярной функции и для винт-функции, мы можем отметить следующие особенности этих выражений во-первых, главная часть функции равна функции главной части винта (т. е. его вектора), а во-вторых, функция винта полностью определяется функцией его главной части. [c.140] Полагая, что г , г , г не зависят от Гх, Гу, Гг, мы найдем, что V = V, т. е. что комплексный оператор Гамильтона — тот же, что вещественный. [c.140] Из выражений (5.101), (5.102), (5.103) видно, что дифференцирование функций винта сводится к применению операции V к вещественной функции — главной части рассматриваемой функции. [c.141] Если поставить обратные задачи — об определении скаляра по его градиенту и винта по его расхождению и вихрю, то можно аналогично прийти к выводу, что решение этих задач для главной части полностью определяет решение. [c.141] Сказанное позволяет сформулировать следующую теорему. [c.141] Теорема 24. S области винтов сохраняют силу все формулы и все теоремы векторного анализа. [c.141] В винтовом анализе существуют те же особенные случаи, что в алгебре винтов это случаи обращения в нуль главной части винта. Для таких случаев требуется специальное исследование. [c.141] Выражения (5.104) и (5.105) показывают, что функция нескольких винтов полностью определяется функцией от векторов этих винтов. [c.142] Выражения (5.104) и (5.105) показывают, что если рассматривать изменение функций F и F при изменении только одного переменного винта, например Rn, а остальные п — 1 винтов положить постоянными, то F, вообще говоря, будет иметь комплексное значение, а F, вообще говоря, будет винтом и в том случае, если Rn обратится в вектор, началом которого будет точка О. Нетрудно убедиться, что указанные выше свойства функций F я F сохраняют силу и в этом случае, т. е. снимается сделанное вначале ограничивающее предположение о том, что F вещественно, а F — вектор с началом в точке О, когда R становится вектором с началом в точке О. [c.142] Из выражений (5.104) и (5.105) можно непосредственно получить формулы для скалярного и винтового произведений двух винтов, а также для других соотношений алгебры винтов, если эти соотношения рассматривать как функциональные между винтами. [c.142] Из всего сказанного здесь вытекает, что можно построить винтовой анализ, воспроизводящий в точности обыкновенный векторный анализ, заменив векторы винтами. При этом, очевидно, сохранится установленное ранее соответствие геометрических объектов модулю вектора будет соответствовать комплексный модуль винта, углу между векторами — комплексный угол между осями винтов. [c.143] После того как выяснены условия возможности аналитической записи выражений функций винтового переменного, мы можем вернуться к принципу перенесения, обсуждение которого мы имели в главе IV, и высказать здесь общие соображения об условиях применимости этого принципа к решению задач механики твердого тела. [c.143] Из формулировки принципа перенесения видно, что он заключается в а) использовании взаимно однозначного соответствия пространства моторов (комплексных векторов), отнесенных к некоторой точке, и пространства винтов и б) переходе от пространства векторов с общим началом к пространству моторов, отнесенных к этому началу. Взаимно однозначное соответствие между двумя пространствами есть геометрический факт, остающийся в силе при любых аффинных ортогональных преобразованиях, т. е. при любых движениях, сохраняющих длину вектора и угол между двумя произвольными векторами, а следовательно, это соответствие имеет силу для любых движений твердого тела. Что же касается перехода от векторов к моторам, то он осуществляется с помощью комплексных величин и действий над ними, причем необходимо, чтобы то или иное уравнение, связывающее механические величины изображаемые векторами, при замене вещественных величин комплексными становилось уравнением между величинами, изображаемыми винтами. Но это возможно только при выполнении того условия, чтобы соответствующие функциональные выражения имели вид соответственно (5.94), (5.98), (5.104) и (5.105), т. е. чтобы они удовлетворяли условию аналитичности . [c.143] Вернуться к основной статье