ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Полная система уравнений статики упругих тонкостенных стержней из "Статика упругих тонкостенных стержней " В основе приближенных теорий, рассматриваемых теорией упругости, лежит представление о возможности разделения всех напряжений и деформаций на основные и второстепенные. [c.26] В этих примерах деформация сдвига признается второстепенной, а соответствующие касательные напряжения—-также второстепенные — выясняются из уравнений статики. Такого рода разделение напряжений и деформаций на основные и второстепенные типично для всех приближенных теорий. В этих теориях добиваются лишь соответствия основных напряжений с основными деформациями, допуская противоречие между второстепенными напряжениями а второстепенными деформациями. Такого рода противоречия, в сущности неизбежные в приближенных теориях, являются результатом произвольности исходных деформационных гипотез если по напряжениям, вычисленным таким способом, определить с помощью закона Гука соответствующие деформации, то условия совместности, разумеется, будут нарушены. [c.27] При развитии теории по подобной схеме прежде всего надлежит разрешить вопрос о том, какие напряжения и деформации нужно считать основными и какие — второстепенными. Решение этого вопроса может быть получено не только экспериментальным путем некоторые заключения можно извлечь из сравнения изучаемой задачи с другими задачами, более простыми, но близкими по условиям загружения и закрепления. При этом естественно принять, что напряжения и деформации, равные нулю в более простой задаче, являются второстепенными в более сложной. [c.27] Здесь 0 и о — пока произвольные функции я, появившиеся при интегрировании. [c.30] Таким образом, смещения I и тг) в каждом сечении определяются по формулам кинематики плоского движения и выражаются через смещения полюса и о и угол поворота 8 вокруг полюса, совпадающего с началом координат. [c.30] Как будет показано ниже, гипотеза о неизменяемости контура поперечного сечения позволяет до конца решить задачу о равновесии упругого тонкостенного стержня без каких-либо дополнительных кинематических гипотез. Это сделано ниже в главе V. [c.31] Это дополнительное предположение может быть изложено и в другой редакции, вполне эквивалентной только что указанной перемещение w z, s) точек срединной линии поперечного сечения г onst с точностью до множителя совпадает с перемещением, соответствующим решению задачи Сен-Венана о чистом кручении (этот мнржитель является функцией только координаты г). Подробности, относящиеся к таким прикладным теориям, будут рассмотрены ниже в соответствующих местах (главы II и III). [c.31] Рассмотрев в дву предыдущих параграфах статическую и деформационную стороны вопроса, мы можем теперь обратиться к использованию связи между напряжениями и деформациями для получения полной системы уравнений задачи. В настоящем параграфе мы остановимся на той системе, которая следует из относительно строгой постановки задачи, основанной на гипотезе неизменяемости контура поперечного сечения без каких-либо других гипотез. Результаты, полученные в этом параграфе, будут полностью использованы ниже в главе V. [c.32] Здесь —модуль нормальной упругости, [д. — модуль сдвига, /я — число Пуассона. [c.32] Эта система четырех уравнений относительно четырех неизвестных функций щ г, ), (, (г), т)д (г), (г) является аналогом уравнений равновесия теории упругости в перемещениях. В нее входят все вторые частные производные по г и х от функции ю и первые и вторые полные производные по г от остальных трех функций. Таким образом система (47—50) является смешанной системой интегро-дифференциальных уравнений, содержащей как обыкновенные, так и частные производные. Нетрудно сообразить число и характер граничных условий, которые должны быть добавлены к этой системе для полной постановки задачи. [c.34] Выпишем теперь, исходя из этих соображений, торцевые условия в некоторых типичных случаях. [c.36] Последние три условия, поставленные лишь в смысле принципа Сен-Венана, выражает равенство нулю на торце двух перерезывающих сил и крутящего момента. [c.36] Детальное ра титис теории, основанной на приведенной выше системе уравнений, дается в главе V. [c.39] В заключение осппювимся на виде полной системы уравнений статики п перемещениях в случае прикладной теории В. 3. Власова. [c.39] Семь столбцов только что приведенной таблицы отвечают семи граничным условиям, имеющим место на каждом из торцов. [c.42] Из сопоставления исходных уравнений общей теории Р. А. Ададурова с уравнениями прикладной теории В. 3. Власова (а также не выписанными здесь уравнениями теории А. А. Уманского для стержней с закрытым профилем) сразу же можно усмотреть основное различие между теориями. Оно состоит в разном порядке многообразия функций, характеризующих перемещение точек стержня вдоль его оси. В то время как в общей теории допускается произвольная зависимость перемещения чю от обеих переменных газ, вид которой находится по ходу решения задачи, в прикладной теории вид зависимости от переменных г п устанавливается сразу при формулировке теории с точностью до четырех неизвестных функций г. Из этих четырех функций три характеризуют перемещение сечения как жесткого целого без депланации, так что последняя определяется единственной функцией. [c.42] Отличие Каргин перемещений немедленно сказывается и на точности описания напряжения о в общей теории напряжение на торцах может быть задано в каждой точке торца, тогда как в прикладной теории возможна лишь интегральная характеристика распределения с помощью четырех факторов М , Му, В . [c.42] Соответственно сказанному, в общей теории удается удовлетворить граничным условиям для в каждой точке торцевого сечения, а в прикладной теории можно удовлетворить лишь в интегральном смысле смягченным граничным условиям для напряжения а . Таким образом, приближенная теория идет на одну ступень дальше использования классического принципа Сен-Венана в ней учитывается не только статическая эквивалентность систем нормальных напряжений, НО и бимоментная . [c.42] Вернуться к основной статье