ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Сферические и цилиндрические волны. Нелинейные пучки из "Акустика в задачах " Обращение в нуль знаменателя (2) в формуле (1) отвечает тому, что в некоторой точке профиля на расстоянии производная (1) обращается в бесконечность — касательная в этой точке становится вертикальной иными словами, начинается процесс образования разрыва в профиле простой волны. Искомая точка профиля соответствует максимальному значению функции Ф, т.е. находится из условия Ф = 0. Таким образом, условие Ф = О и условие (2) позволяют решить поставленную задачу. [c.137] На практике удобно воспользоваться тем, что решение уравнения простых волн может быть записано в явном виде (см. [c.137] Окрестность точки профиля, где достигается максимум производной Ф, опрокинется первой. [c.139] Решение. Способ 1. Запишем решение уравнения простых волн для данного однополярного импульса как явную функцию х(х,и). [c.139] Это значит, что волна сжатия устойчива. Смещение фронта в сопровождающей системе координат т = t - х/с свидетельствует о том, что положительный (относительно невозмущенного уровня и = 0) скачок движется со сверхзвуковой скоростью с = с +еи /2 тем быстрее, чем больше перепад и в ударной волне. [c.142] Интересно, что ударная волна разрежения (и и ) неустойчива—при распространении ширина ее фронта растет (см. рисунок б). Чтобы в этом убедиться, достаточно воспользоваться графическим методом задачи 5.1.10. Равенства площадей здесь не требуется. [c.142] Из-за образования разрывов и их нелинейного затухания (тем более сильного, чем больше и ) амплитуды гармоник уменьшаются по степенному закону, причем п Плотность энергии уменьшаются как Е = тс ЫQДЗ(l+2)] и при 2 1 не зависит от амплитуды Ыд исходного возмущения. [c.143] Тр(х) = [2ЛГ(e/фx] / -текущая длительность импульса. [c.143] Как показано на рисунке, в случае а) импульс трансформируется в так называемую 5-волну неизменной длительности 2Т -, в случае б) импульс превращается в Л -волну, длительность которой 2Т х) растет с увеличением х. [c.144] Таким образом, скорость перемещения фронта в сопровождающей системе координат зависит только от значений и возмущения на разрыве, которые, вообще говоря, зависят от расстояния. Поскольку и 2 принадлежат не только разрыву, но одновременно и профилю простой волны, для них справедливо решение (1.3), т.е. [c.145] Здесь функция описывает профиль простой волны перед разрывом, Ф2—за разрывом (Ф 2 Обратные к 2 функции). Три уравнения (2)-(4) для трех неизвестных Тр(дс), ы (дс), и х) образуют полную Систему для решения поставленной задачи. [c.146] Отсюда следует, что величина Г оценивает относительный вклад нелинейных и диссипативных эффектов в искажение профиля волны. При Г 1 преобладает нелинейность, при Г 1—диссипация. [c.150] Полезно убедиться в том, что скорость движения фронта слабой ударной волны (2) не зависит от его ширины и совпадает со скоростью (см. (2.16.2)) движения разрыва. [c.151] В последнем случае амплитуда гармоники не зависит от своего исходного значения а. [c.152] При у О, Рух 1 характерные амплитуда и частота волны неограниченно возрастают. [c.153] Решение. Для функции 8 1), определяемой (10.6), имеем = AB(t), где 0(/)—функция Хевисайда (единичного скачка). Графическая процедура отыскания координаты абсолютного максимума в данном случае иллюстрирована (см. рисунок). За фиксируем расстояние х, т.е. ширину параболы (10.7). Если Т О, то парабола I коснется ступеньки своим центром = = т, т.е. t т,x) = т при этом согласно (10.5) поле и(т,х) = о для всех Т 0. [c.154] Вернуться к основной статье