ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод частичных областей при решении граничных задач излучения и рассеяния звука из "Волновые задачи рассеяния звука на упругих оболочках " Как отмечалось выше, анализ многих акустических ситуаций возможно осуществить в рамках модели, приводящей к решению граничных задач для уравнения Гельмгольца. Такие граничные задачи довольно полно изучены [122]. Для самого уравнения Гельмгольца построены многочисленные частные решения в различных системах координат. Для таких случаев, когда форма излучающего или рассеивающего тела такова, что его граница совпадает с одной из координатных поверхностей, накоплен огромный материал по решению граничных задач. Пожалуй, в наиболее законченном виде такой материал систематизирован и обобщен в работе [183]. [c.13] Во всех рассмотренных в работе [183] задачах реализован единый подход, который используется для многих задач математической физики. Сущность его заключается в следующем. Для каждой области существования звукового (электромагнитного) поля на основе выбора соответствующих частных региений уравнения Гельмгольца строится такая их совокупность, которую мы называем общим решением граничной задачи. Это не совсем традиционное для математической физики понятие означает, что каждый раз мы строим некоторую совокупность частных решений уравнения Гельмгольца, которая содержит достаточно произвола для того, чтобы удовлетворить произвольное граничное условие для скорости или давления на поверхности, ограничивающей область существования поля. Само доказательство такой возможности обычно основано на использовании свойств функций штурм-лиувиллевского типа [152]. В частности, одно из важнейших их свойств — свойство ортогональности позволяет в последующем свести задачу определения произвольных постоянных и функций в общем представлении характеристик поля к решению простых систем линейных алгебраических уравнений. Задача несколько усложняется, если на граничной поверхности, совпадающей с координатной поверхностью, заданы смешанные граничные условия В этом случае на одной части границы задана нормаль ная составляющая скорости, а на другой — давление. Такие граничные условия приводят к довольно сложным системам интегральных или алгебраических уравнений, для решения которых не предложены к настоящему времени методы, эффективные для произвольной длины волны. [c.13] Первое направление обобщения результатов решения волновых задач для одиночных излучателей (рассеивателей) связано с классическими работами математиков [ 19, 102] по перестройке выражений для волновых функций из одной координатной системы в другую. В последующем эти результаты послужили основой для большого числа конкретных работ [85, 210]. Это направление в акустике довольно эффективно развивается и в настоящее время. [c.14] Помимо указанных двух направлений имеется еще одна возможность расширить круг задач акустики, допускающих аналитическое представление решения. При этом области существования звукового поля могут быть довольно сложными и многообразными. Поскольку именно этот подход будет использован в последующем изложении, более подробно остановимся на его описании. Причем для большей конкретности проведем изложение применительно к определенному виду частных решений двухмерного уравнения Гельмгольца. [c.14] Смысл этой записи в том, что произведение произвольной функции Бесселя на один из тригонометрических множителей является решением уравнения. Это решение определяется с точностью до некоторой постоянной величины А (а) или В (а). [c.14] Если О, в региении (1.21) следует положить = 0. [c.15] Частные решения (1.20) можно использовать для построения общего решения задачи в области г Гг, О 0 0 , представляющей собой криволинейный прямоугольник. Причем будем считать, что неоднородные граничные значения скорости или давления заданы на всех четырех сторонах прямоугольника (рис. 2). [c.15] Общее представление для потенциала скоростей звукового поля должно позволить выполнить произвольные граничные условия на поверхностях г = г , г = г , О 6 Эр и 0 = 0, 0 = Эо, 1 / г- Задачу построения такого представления будем решать по частям. [c.16] При построении второй составляющей общего решения, позволяющей удовлетворить неоднородные граничные условия по скоростям на поверхностях 0 = onst, приходим к еще недостаточно хорошо изученной спектральной задаче Штурма — Лиувилля. Поэтому наши построения будут носить несколько более сериальный характер, что тем не менее позволяет полностью иллюстрировать существо метода. [c.17] Здесь штрих указывает на дифференцирование по г. [c.17] что произвольные постоянные, содержащиеся в выражениях для Oi и Фц, определяются по граничным )/словиям независимо. При этом использование ортогональности соответствующих функций сводит этот процесс к решению конечных систем линейных алгебраических уравнений. Ортогональность системы функций Q, (а,г) на интервале г г , может быть показана непосредственно с использованием уравнения для функций Бесселя и соответствующих граничных условий. Это обстоятельство интересно также с физической точки зрения. Сама возможность такого раздельного определения произвола указывает на то, что собственные формы колебаний в выделенном объеме формируются без взаимодействия радиальных и окружных волновых движений. [c.18] Для построения общего решения граничной задачи (1.29) для внешности области, показанной на рис. 2, разобьем всю область существования поля на части. При этом такие частичные области следует выбрать так, чтобы в каждой из них можно было построить решение уравнения Гельмгольца, позволяющее выполнить граничные условия на какой-то части полной поверхности и условия сопряжения на границах соседних частичных областей. Следует иметь в виду, что таким образом поставленная задача имеет несколько решений, которые здесь для данной задачи рассматривать не будем. В параграфе 9 второй главы при рассмотрении задачи об излучении звука конечным цилиндром конкретно указано несколько возможных вариантов разделения всей области существования поля на частичные области. [c.19] Каждый раз при наличии возможности выбирать варианты разделения области на части следует руководствоваться простым правилом — для практического использования следует взять тот вариант, который связан с наиболее простыми выкладками при фактическом удовлетворении граничных условий. В рассматриваемом сейчас случае таким наиболее простым вариантом является выделение трех частичных областей. Область I определяется как область г г , в области // г r.j, 00 0 2л. и в области /// г Га. [c.19] Здесь С и Р — произвольные постоянные. [c.20] При этом удовлетворены лишь условия излучения и условия на жестких поверхностях 0 == 0,, и 0 = 2л. [c.20] Рассмотрим, например, первое равенство выражения (1.34) Поскольку оно имеет место на интервале 0 9 2л, то естественно, что при преобразовании его к алгебраическим равенствам используем ортогональность функций os п9 и sin п9. При этом получаем бесконечную последовательность алгебраических равенств для определения постоянных и В . В силу того что системы функций os (9 — 9 ) и os пв, sin пв не ортогональны, в каждое равенство для конкретного значения п = N войдет бесконечный ряд неизвестных коэффициентов D , и F . Второе же условие (1.34) в интервале 0 0 2л алгебраизуется на основе свойств ортогональности на этом интервале системы функций os а (9 — 0о). При этом в каждое равенство для конкретного т = М войдет бесконечный ряд значений неизвестных и В . [c.21] Соотношения (1.35) идентичны равенствам (1.34) и, следовательно, все указанное в подпой мере относится и к ним. На этом этапе, когда описывается существо используемого метода, явные выражения для коэффициентов переразложения выписывать не будем. Совершенно ясно, что использование метода частичных областей приводит к формированию бесконечных систем линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов. Эффективность и возможности метода в значительной мере зависят от эффективности алгоритмов решения бесконечных систем. Построению таких эффективных алгоритмов в последующем изложении уделяется большое внимание. При этом используются сведения о структуре звукового поля в окрестности угловых точек. [c.21] Приведенное описание метода частичных областей достаточно для того, чтобы дать представление о больших его возможностях в смысле широты охвата типов излучающих (рассеивающих) областей, для которых возможно аналитическое представление потенциала звукового поля. Эти большие возможности в значительной мере предопределили широкое использование метода в задачах акустики и электродинамики. Для задач излучения и рассеивания электромагнитных волн существо метода и большое число конкретных результатов содержатся в работах [179, 1801. [c.21] В поставленной задаче необходимо найти звуковое поле в волноводе. При этом следует отметить, что эта граничная задача допускает множество решений. К полученному каким-либо способом решению, удовлетворяющему граничным условиям, всегда можно добавить бегущую нормальную волну для волновода с жесткими стенками, т. е. [c.22] Здесь п может быть любым, лишь бы выполнялось неравенство к пп Ь. [c.22] Вернуться к основной статье