ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Действие синусоидальной силы на незатухающий гармонический осциллятор из "Колебания и волны Введение в акустику, радиофизику и оптику Изд.2 " На рис. 84 показана зависимость амплитуды В от отношения (оо/со. Из рис. 82, а, б ясно видно, что среднее значение 5 за период вынужденного колебания положительно. Это связано с тем, что все толчки положительны (действуют в одну сторону). [c.81] Когда Т значительно меньше Го, величина В перестает характеризовать размахи колебаний величины 5 около ее среднего значения и ее уже нет смысла называть амплитудой вынужденного колебания. Поэтому график рис. 84 оборван на соо/а) = 1/2. [c.81] Предоставляем читателю исследовать, как изменяется характер периодического вынужденного колебания при Г— 0, и показать, что по мере уменьшения Т (учащения толчков) растет среднее значение отклонения 5 и уменьшается размах колебаний около него. [c.81] Принимая во внимание трение (сопротивление), мы должны заменить дуги окружности на рис. 77 дугами скручивающихся спиралей (ср. 3), так как в промежутках между толчками происходит затухающее колебание. За один период амплитуда колебания убывает на определенную долю своей начальной величины, а именно в отношении 1 Трение, если бы не было толчков, вызывало бы убывание амплитуды от периода к периоду по закону геометрической убывающе прогрессии со знаменателем Если бы не было трения, толчки вызвали бы, как мы знаем ( 4), рост амплитуды по закону, выражаемому арифметической прогрессией с разностью Р. Нам предстоит решить, что будет, если есть и толчки, и затухание, к чему приведет борьба между возрастающей арифметической и убывающей геометрической прогрессиями. [c.82] Пока амплитуда А мала, ее убыль за период А (1—е ) мала по сравнению с Р. Но по мере роста амплитуды эта убыль будет становиться все больше и в конце концов скомпенсирует приращение Р. Наступит равновесие между обоими процессами, рост амплитуды прекратится, установится некоторая стационарная амплитуда. [c.82] Выразим все это более точно (рис. 85). [c.82] После первого толчка амплитуда Рх Р- Чтобы найти мы должны отложить на оси абсцисс р и найти соответствующую ординату, затем зная мы найдем таким же образом р , и т. д. [c.83] Мы видим теперь, что логарифмический декремент или добротность имеют и такой физический смысл они характеризуют, насколько сильно осциллятор раскачивается при резонансе. [c.83] Рассмотрим подробнее форму установившихся колебаний при резо нансе. [c.83] Форма колебаний для т — , — 0,2 и = 0,02 показана на рис. 89. Во втором случае отличие от синусоиды невелико. При еще меньшем оно станет незаметным. [c.84] Мы приходим к важному выводу если толчки действуют на систему с большой добротностью в резонанс, т. е. с периодом, кратным собственному, они поддерживают в ней при стационарном режиме колебание, практически не отличающееся от синусоидального колебания с частотой Шц. Можно это выразить и так в случае резонанса при определенной амплитуде колебаний осциллятора толчки компенсируют затухание. [c.84] При увеличении добротности осциллятора Q будут расти максимумы, но вдали от них резонансная кривая практически не будет меняться. Пики будут становиться все выше и острее (рис. 93). [c.86] Это ясно из п. 1. При малом Q уже после небольшого числа ступеней лестница рис. 86 приводит нас к амплитуде, которую практически можно считать установившейся. При большом Q лестница будет намного круче и намного длиннее, число ступеней, имеюш,их заметную величину, сильно возрастет (рис. 94). Так как переход со ступени на ступень длится одинаковое время Т, это значит, что установление стационарного состояния длится гораздо дольше. Осциллограмма процесса нарастания показана на рис. 95 для двух значений Q. [c.86] Мы будем считать 0. В этом нет ограничения общности, так как 7 0 О можно заменить на Fq О, сдвинув на ти/ш начало счета времени. [c.88] Мы впоследствии увидим (гл. XI), что случай синусоидальной силы имеет особенно важное значение в связи со спектральными свойствами гармонического осциллятора. [c.88] Это — случай резонанса. При дальнейшем росте ш амплитуда изменится от — со до нуля. [c.89] Если рука смещается синусоидально, т. е. [c.91] При u) ( 0 угол 0 и смещение должны быть в фазе, при ш Шд — в противофазе. Это легко проверить, двигая один раз руку с частотой, немного меньшей, чем собственная частота маятника, другой раз — с частотой, немного большей. Получается то, что показано на рис, 97, б, в. [c.92] Другой замечательный пример дает теория качки корабля, разработанная знаменитым русским математиком и инженером А, Н, Крыловым (1863—1945), Если корабль, плавающий на спокойной воде, вывести из положения равновесия (ватерлиния горизонтальна, рис. 98, а), дав ему продольный наклон (рис, 98, б) или крен (рис. 98, в), корабль будет совершать собственные колебания с периодом (соответственно Tq и Т ), определяемым конструкцией корабля. Пусть теперь корабль плывет наперерез, волнам. Волны создают периодически меняющийся с некоторым периодом Т момент сил, стремящийся повернуть корабль в вертикальной плоскости, Под действием этого момента происходит периодическая килевая качка вынужденные колебания). Если Т она имеет вид, показанный на рис. 98, г наклон корабля 6 —в фазе с моментом сил. Если Г наклон корабля и момент сил изменяются в противофазе (рис, 98, д), нос зарывается в волну, винты при этом могут оголиться, что весьма опасно ). [c.92] Вернуться к основной статье