ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Идеализация с помощью основных конечных элементов из "Метод конечных элементов Основы " Для того чтобы оценить значение различных альтернативных подходов при формулировке конечно-элементных соотношений, полезно изучить взаимосвязь между простой моделью поведения конечного элемента и поведением реальной конструкции. Эта модель наглядно характеризует поведение элемента, хотя существуют и другие равноценные способы рассмотрения основополагающих концепций метода конечных элементов. Действительно, подход, основанный на энергетических или вариационных принципах (гл. 6),— это, по-видимому, наиболее широко используемая схема реализации метода конечных элементов. Однако в этом подходе основополагающие концепции метода конечных элементов рассматриваются с других позиций, нежели в настоящей главе. [c.41] Для рассматриваемой здесь простой модели каждому конечному элементу в реальной конструкции отвечает распределенное поле напряжений. Однако для построения математической модели напряженное состояние представляется силами — обобщенными силами — в точках соединения, или узлах элементов. Соответственно смещения этих точек — степени свободы — используются для описания перемещений элемента. [c.41] Для пояснения причин, обусловливающих применение идеализации, показанной на рис. 2.3 (с), можно воспользоваться задачей проектирования, представленной на рис. 2.4. Если требуется перекрыть пролет между точками Л и В фермовой конструкции, изображенной на рис. 2.4 (а), то для расчета удобно применить матричные методы механики конструкций, которые, как уже отмечалось, предполагаются известными читателю. Из фермы выделяются отдельные элементы, и для типичного осевого элемента, изображенного на рис. 2.4 (Ь), выписываются соотношения, связывающие силы и перемещения в узлах. Реальную ферму можно заменить теперь математической моделью, рассматривая равновесие сил в каждом узле. [c.42] Существуют важные различия между представлениями фермой и пластиной. Суммируя покоординатно силы в каждом узле элемента фермы и приравнивая результирующие к соответствующим прикладываемым нагрузкам, мы полностью удовлетворим условиям равновесия внутри фермы. Соединение элементов фермы полностью обеспечивает перемещение фермы как конструктивного целого без каких-либо разрывов, смещений. Решение задачи для фермы является точным в рамках предположений о том, что соединения осуществлены при помощи шарниров и отсутствуют деформации изгиба. Если каждый из элементов фермы разбить на более мелкие элементы и рассчитать конструкцию с учетом этого более точного представления, то решение не изменится. [c.43] Однако решения методом конечных элементов для сплошных конструкций, таких, как тонкая пластина, изображенная на рис. 2.4 (е), пространственное деформируемое тело, изгибаемая пластина и оболочка, не являются точными. Для иллюстрации этого утверждения предположим, что треугольные элементы, изображенные на рис. 2.4 (ё), построены в предположении, что для поля перемещений вдоль сторон элемента имеет место квадратичный закон распределения. На рис. 2.5(а) изображено деформированное состояние двух выбранных элементов. Если соединить элементы, как указано выше, то, вообще говоря, будет нарушена непрерывность перемещений вдоль линии, соединяющей два элемента (см. рис. 2.5 (Ь)). Соединения в вершинах элементов обеспечивают непрерывность только в этих точках. Квадратичная функция однозначно определяется по трем точкам, а так как только две концевые точки соприкасающихся сторон участвуют в определении формы смещений вдоль ребра, перемещения краев элементов будут различаться, за исключением некоторых частных случаев. Если псполь-зовать большее количество элементов, как указано на рис. 2.5(с), то различие в смещениях на сторонах соседних элементов станет меньше и вызванная указанным обстоятельством погрешность решения также уменьшится. Эта ошибка конечна для любого конечного числа элементов, поэтому решение является приближенным. [c.43] При расчетах по методу конечных элементов источниками ошибок могут служить два условия условие равновесия и условие непрерывности перемещений. В большинстве существующих моделей конечных элементов стараются удовлетворить условиям непрерывности перемещений, поэтому можно считать, что погрешности при численном анализе возникают из-за неточного удовлетворения условий равновесия. Полная процедура численного исследования методом конечных элементов позволяет, однако, считать, что возникающие погрешности обусловлены нарушением обоих условий. Как будет показано, теоретическое исследование метода конечных элементов тесно связано с выяснением, какое из условий выполняется, а какое нарушено. [c.45] Вернуться к основной статье