ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Генерация низкочастотного спектра в поле амплитудномодулироваииой волны из "Теория волн " Уравнение (4.3) называется уравнением Бюргерса. Оно было впервые предложено как модель для описания турбулентных эффектов, но в дальнейшем,приобрело особенно важное значение именно в теории нелинейных волн и в нелинейной акустике. [c.196] Эта оценка показывает, что при отсутствии влияния диссипативного члена в уравнении (4.3) нелинейные эффекты должны проявиться при 2 1. Таким образом, волне нужно распространиться на достаточно большое расстояние, чтобы нелинейные эффекты накопились и стали заметными по величине. [c.197] Величина Ке называется акустическим числом Рейнольдса. Когда Ке 1, нелинейные эффекты преобладают над диссипативными. В противоположном случае (Ке 1) условия проявления нелинейных эффектов менее благоприятны. Для того чтобы конкретизировать эти общие утверждения и более точно оценить область расстояний 2 и область значений параметров, при которых нелинейные эффекты четко выражены, нужно решить (4.3) и проследить за поведением волны во всей области распространения О 2 оо. [c.197] Для гармонического на входе (при л = 0) процесса константы Ио, со имеют смысл амплитуды и частоты колебания при других формах исходного возмущения Ио, со — это некоторые характерные константы с размерностью см/с и с соответственно. Например, для возмущения в виде одиночного импульса в качестве Ид можно принять максимальное значение скорости, а в качестве со — характерную длительность импульса. [c.197] Выражение (4.8) называется заменой Хопфа — Коула. Нужно подчеркнуть возможность линеаризации нелинейного уравнения в частных производных второго порядка встречается исключительно редко. [c.198] Здесь А, В — константы, Ф = е dv — интеграл ошибок. [c.198] Чтобы решения (4.11) были ограниченными при любых z О, нужно потребовать Л 1, S 1. Случай il 1, S 1 соответствует предельному переходу к линейным решениям с точностью до обозначений выражения (4.11) нри этом совпадут с решениями (2.37) и (2.40) (см. гл. I). При А В ъ решениях (4.11) заметно проявляется нелинейное искажение формы волны. [c.198] Решение (4.13) изображено на рис. 6.8 для различных значений параметра Г. Константа интегрирования Fq полагалась равной единице (этого можно добиться во всех случаях за счет изменения нормировки и (4.6)). Видно, что решение представляет собой ударную волну с конечной толщиной фронта, равной Д0 2Г. При больших числах Рейнольдса (Г - 0) толщина фронта стремится к нулю, и решение принимает вид ступенчатого скачка F = sign0. [c.199] Таким образом, уравнение Бюргерса описывает структуру и местоположение фронта ударной волны и поэтому, в отличие от уравнения для простых волн, не требует привлечения дополнительных условий (типа правила равенства площадей ) для определения формы волны после образования разрыва. Кроме того, сам разрыв уже не предполагается бесконечно тонким это область конечной ширины (определяемой конкуренцией между нелинейным увеличением крутизны и диссипативным расплыванием), в которой диссипативный член Td V/dQ уравнения Бюргерса имеет наибольшую величину. В области фронта, следовательно, поглощение энергии волны происходит наиболее эффективно. [c.200] Замена верхнего предела я на бесконечный предел интегрирования приближенно возможна потому, что для больших Г подынтегральное выражение при 0 я мало. [c.201] амплитуды которых при 2 1 уменьшаются приблизительно по закону ехр (—/гГг), а не ехр —n tz), как это следует из линейной теории, что связано с подкачкой энергии от низших гармоник к высшим. Решение Фея хорошо описывает процесс при больших числах Рейнольдса (малые Г), когда нелинейные эффекты четко выражены. При Г- О (4.18) переходит в спектральное разложение (3.13) для пилообразной волны с бесконечно тонким фронтом. [c.202] Интересно, что амплитуда волны при z 2/Г уже не зависит от исходной амплитуды щ. Таким образом, в нелинейной среде имеет место эффект ограничения амплитуды сильные изменения величины сигнала при z = О приводят к слабым изменениям при Z 2/Г. На расстояния z 2/Г не удается передать сигнал с энергией, большей некоторой максимальной Ё тах = = 8Р ехр(—2rz). [c.202] Суммируя сказанное, можно представить себе распространение гармонического сигнала F(z = О, 0) = sin 0 в нелинейной поглощающей среде следующим образом. [c.202] Выражение (4.27) описывает динамику движения фронта в несимметричном двуполярном возмущении и постепенное превращение его в однополярный импульс (рис. 6.11). [c.205] Предыдущие параграфы гл. VI были посвящены изложению наиболее важных аспектов теории нелинейных волн в средах без дисперсии. Эти сведения составляют необходимый минимум знаний, который обычно требуется при решении более сложных задач. В зтом параграфе мы приведем упрощенное решение одной такой задачи, имеющей наибольшее практическое значение. Разумеется, зтот материал носит более специальный характер и читателю, не интересующемуся деталями, его можно, опустить. [c.205] Спектр колебания (5.1) состоит из трех компонент Фурье, имеющих близкие частоты ш, ш — й, ш + 2. В нелинейной среде, при распространении возмущения, эти компоненты взаимодействуют между собой, в результате чего рождаются низкочастотные составляющие спектра с частотами й, 2Й,. . . Разумеется, помимо этих волн возникают и высокочастотные гармоники то, то т, (тг. т — натуральные числа). Однако исследование низкочастотной части спектра представляет наибольший интерес, поскольку коэффициенты затухания этих компонент (пропорциональные квадрату частоты — см. 2 гл. I, (2.29)) очень малы и низкочастотные составляющие могут распространяться на гораздо большие расстояния, чем исходные волны. [c.205] Рассмотрим, вначале случай малых чисел Рейнольдса, когда диссипативные эффекты преобладают над нелинейными. Тогда задачу можно решить методом последовательных приближений. [c.205] Как показывает выражение (5.7), эффект преобразования энергии накачки в низкочастотные волны пропорционален отношению частот р = Q/ o и глубине модуляции т. [c.207] При m 1 вторым членом (5.7) можно пренебречь при этом генерируется только первая низкочастотная гармоника. Для малых чисел Рейнольдса (Г 1) эффект незначителен. Однако на расстояниях Fz 1п(4Г/тР) амплитуды волн Q, 2Q становятся сравнимыми с амплитудой волны накачки, а затем и превышают ее. Низкочастотные волны, затухая по более медленному закону ехр(—/г Р Гг) (где /г = 1,2 — номер гармоники), чем высокочастотные компоненты спектра — ехр —tz), могут пробегать на значительно большие расстояния. Из-за этого, в частности, на эффекте нелинейной генерации волн разностных частот основана работа некоторых гидроакустических приборов (например, параметрических излучателей звука). [c.207] Вернуться к основной статье