ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Уравнение Матье и уравневие Хилла из "Теория волн " В этой главе рассматриваются задачи распространения волн в структурах, свойства которых изменяются в пространстве по периодическому закону. Примерами таких структур могут служить кристаллические твердые тела. Как известно, существует дальний порядок в расположении узлов решетки это приводит к пространственно-неоднородному распределению массы и потенциала электрического поля в кристаллах. Важную роль в технических приложениях играют искусственно созданные периодические структуры типа многослойных световых или акустических фильтров. В радиотехнике находят применение длинные цепочки из емкостей, индуктивностей и сопротивлений, расположенных в определенном порядке, а также замедляющие системы. В теории нелинейных волн обсуждаются задачи распространения волн в периодических структурах, неоднородность которых наведена полем другой волны. Эти задачи актуальны, например, в связи с проблемой создания оптических резонаторов для коротковолновых лазеров. [c.141] Распространение волн в средах с периодически изменяющимися свойствами сопровождается появлением новых качественных особенностей, наиболее заметных в тех случаях, когда длина волны становится сравнимой с характерным пространственным периодом изменения свойств системы. Несмотря на физические различия, волновые процессы различной природы в периодических системах часто описываются похожими уравнениями. Мы рассмотрим несколько задач, которые, с одной стороны, представляются наиболее простыми, а с другой — позволяют сделать достаточно общие выводы и дродемонстрировать используемые здесь математические приемы расчета. [c.141] В формуле (1.8) наряду с осциллирующими членами имеется слагаемое, модуль которого неограниченно растет с увеличением х. Поскольку мы интересуемся волнами с ограниченной амдлитудой, это слагаемое должно быть обращено в нуль, что возможно только при = 0. Таким образом, при кдф К поправка к частоте в неоднородной среде отсутствует и со = с ко. [c.143] Зависимость к ) изображена на рис. 4.1. Видно, что дисперсионная кривая испытывает разрыв при = К. Появляется запрещенная полоса частот шириной Ай) = волны с частотами, лежащими внутри полосы А , в системе быстро затухают. [c.143] Чтобы подробнее исследовать взаимодействие двух встречных волн в периодической слабо неоднородной среде, воспользуемся методом медленно изменяющихся амплитуд. Детальное описание этого упрощенного подхода будет дано в гл. V при изучении нелинейных волновых взаимодействий. Здесь мы отметим только, что для успешного применения метода требуется, чтобы амплитуды волн изменялись медленно на расстоянии порядка а а — масштаб неоднородностей). [c.144] Константы интегрирования 7 ,2 определяются из граничных условий. [c.145] Как только I А I /си/4, частота выходит из полосы непрозрачности, и встречные волны становятся слабо связанными. Выражение У к)1,14у — при этом будет мнимым, а амплитуды волн А — осциллирующими в пространстве. [c.146] Проверка соотношений (1.20) может быть полезным упражнением для читателя. [c.146] Основные результаты, полученные при исследовании уравнения Магье (2.1), иллюстрированы на рис. 4.2. В незаштрихован-ных областях плоскости переменных т , у величина V комплексна или действительна. В заштрихованных областях V — мнимая величина. На границах действительная часть V обращается в нуль. [c.147] Решение уравнения (2.1) выражается через специальные функции, называемые функциями Матье, они х орошо изучены и табулированы. [c.147] Случай I os Ы I 1 1 соответствует полосе прозрачности рассмотренной структуры. Когда os Ы ] 1, мы попадаем в полосу непропускания, и в соответствии с (2.6) (для комплексных к) волна становится экспоненциально затухающей. [c.150] Здесь l и С2 — фазовые скорости волны в первом и во втором слоях. Правая часть (2.13) построена на рис. 4.4. Точки пересечения с прямой — 1 соответствуют границам областей непрозрачности, которые на рисунке заштрихованы. Рис. 4.5 иллюстрирует зависимость волнового числа к от частоты со, т. е. вид закона дисперсии. [c.150] Вернуться к основной статье