ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Продольные и поперечные волны в изотропном твердом теле из "Теория волн " Для идеального газа ро и ро — равновесные давление пилотность у = ср/с — отношение теплоемкостей при постоянном давлении и объеме. В случае жидкостей (2.4) можно рассматривать как приближенное эмпирическое уравнение здесь константы у и ро. определяются по данным экспериментов. [c.19] Уравнения (2.7) — (2.9) линейны относительн( величин р, р и. Отбросив члены порядка л , и более высоких порядков малости, мы тем самым пренебрегли нелинейными членами, содержащими произведения и степени величин р, р, и. [c.19] Уравнения (2.17) и (2.7) образуют систему для анализа (в принятом приближении) волновых процессов в средах с малой вязкостью. [c.21] Как известно, всякое векторное поле можно представить в виде суммы потенциальной и вихревой компонент и = Ui + щ = = Уф 4- rot А, где ф — использованньш выше скалярный потенциал, А — векторный потенциал. Компонента Ui = Уф описывает продольные (звуковые), а Ut = rot -4. — поперечные (сдвиговые) волны. [c.21] Таким образом, в вязкой жидкости могут существовать поперечные волны, направление колебательной скорости которых перпендикулярно направлению распространения. Однако эти волны очень быстро затухают при удалении от колеблющегося тела. На расстоянии, равном длине волны, это колебание затухает в ехр (2я) 535 раз, т. е. поперечная волна в жидкости практически не распространяется. [c.22] Правомерность использования этого неравенства будет показана ниже. [c.23] Это решений представляет собой совокупность двух встречных плоских гармонических волн, амплитуды которых убывают по мере распространения. Коэффициент затухания равен. [c.23] Из физических соображений ясно, что затухание волны не должно быть слишком сильным, иначе вместо процесса распространения колебаний может возникнуть апериодический в пространстве процесс. Для того чтобы реализовался истинный волновой процесс, амплитуда волны на расстояниях порядка длины волны % должна изменяться слабо, т. е. ехр (—к к) 1 или к к 1. Это условие, как легко проверить, приводит в точности к неравенству (2.27), и использование приближенного соотношения (2.26) физически вполне оправдано. [c.23] Но это означает, что в уравнении (2.21) диссипативный член мал по сравнению с двумя другими членами уравнения, и его можно рассматривать как некоторое возмущение. Характерно, что влияние этого малого члена слабо только на расстояниях порядка длины волны. На больших же расстояниях его вклад накапливается и становится заметным. [c.23] Сохраним во всех выражениях члены не выше первой степени л, т. е. порядка (х и цЧ Остальные члены отбросим. Во втором выражении (2.33) нужно пренебречь производной д и1д , имеющей порядок л. В выражении (2.34) необходимо отбросить второй и третий члены в квадратных скобках, учитывая, что диссипативный коэффициент Ь также предполагается малой величиной порядка ц в силу самой постановки задачи. [c.24] Конструирование дифференциального уравнения с помощью закона дисперсии также является (наряду с методом медленно иа-меняюш егося профиля) довольно обпщм приемом для задач теории волн. Этот прием будет часто использоваться в дальнейшем при рассмотрении линейных волновых процессов. [c.26] Иначе говоря, дри эйлеровом описании необходимо различать частную и полную производные по t. [c.26] На рис. 1.2 вектор 17 — смещение частицы. Как следует из определения, в координатах Лагранжа полная и частная производные по времени не различаются. От лагранжевых координат 1 Гд к эйлеровым 1 г t) можно перейти по формуле г = -Го + 7( г о). Зная смещение, легко найти гидродинамическую скорость и = дТЛд1. [c.27] Согласно (3.5) относительное изменение объема определяется следом тензора ЗрС/ = Пц. Поскольку Пц есть инвариант, не изменяющийся при переходе от одной системы координат к другой, изменение объема может быть выражено через след тензора С/г , и без приведения последнего к диагональному виду. [c.28] Связь (3.7) носит название закона Гука. Константы К, р, называются модулями всестороннего сжатия и сдвига соответственно. Когда деформации не малы и необходимо учитывать нелинейные эффекты, связь сгг (С г ) следует дополнить членами более высокого порядка (например, квадратичными по Um). Для анизотропных тел (кристаллов) закон Гука записывается в виде где — тензор четвертого порядка. [c.29] В отличие от и, , переменная Z7f имеет векторный характер в плс кости, нормальной к ш, она может быть разложена на составля щие. [c.30] Вернуться к основной статье