ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вывод уравнений для поля смещений в окрестности нейтральной поверхности из "Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек " Эта краевая задача относится к классу краевых задач дд эллиптических уравнений 2-го порядка, известному под назва нием задач Пуанкаре. Впервые А. Пуанкаре рассмотрел такого вида задачу для уравнения Лапласа в связи с изучением колебаний жидкости в бассейнах. После Пуанкаре этой задачей за- нимались многие авторы , а в последнее время задача исследована для весьма широкого класса эллиптических уравнений 2-го порядка с двумя независимыми переменными (см., например [2а,, е]). [c.248] Мы не будем здесь заниматься доказательством существования решения этой задачи в общем случае. В качестве примера рассмотрим лишь случай сферической оболочки с одним отверстием и докажем существование решения этой задачи. В общем случае иы предположим, что решение, краевой задачи (2.21) и (2.30а) существует и исследуем выполнение остальных условий нейтральности серединной поверхности 8. [c.248] Отсюда, очевидно, следует р=0, что и требовалось доказать. [c.249] Таким образом, всякое регулярное решение задачи С, если оно существует, единственно. [c.249] Если Р — решение краевой задачи С (2.21) и (2.30а), то согласно формулам (2.19) и (2.23 с, d) поле напряжений на S определяется щ)и помощи формулы. [c.249] Так как т—0, то индекс п= и, согласно известным результатам из теории обобщенных аналитических функций, краевая задача (2.33 j, к) имеет три линейно независимых решения, которые определяют три линейно независимых поля смещений бесконечно малых изгибаний поверхности S. В частности, эти поля могут выражать только движение поверхности как твердого тела. Тогда поверхность S будет жесткой. Такой пример в случае сферической оболочки будет указан ниже. [c.250] КИМ отверстием и напряжения Р и Р, действующие на лицевые поверхности S и S , связаны соотношением (2.32), где р удовлетворяет краевой задаче С (2.21) и (2.30а), то серединная поверхность S нейтральна. Она является жесткой, если краевое условие Z7,j,=0 (на dS) совместимо с тремя линейно независимыми полями жесткого движения поверхности S. [c.250] Отсюда следует, что с=0. Следовательно, мы имеем однородную задачу вида (2.34 , д), которая в рассматриваемом случае имеет одно (линейно независимое) нетривиальное решение. [c.252] В тех случаях, когда 8 допускает бесконечно малые изгибания т=0, 1), соответствующие поля смещений могут выражать движение поверхности 5 как жесткого тела. Следовательно, в зтих случаях фактически 8 — жесткая нейтральная поверхность. [c.252] При втулочных связях точечное краевое условие / ,=0 вдоль некоторой фиксированной образующей боковой поверхности можно осуществить, например, следуюпщм образом. Предположим, что на боковой поверхности Е вдоль фиксированной образующей имеется небольшое углубление (желобок) весьма маленькой ширины, а на стенке втулки соответствующей образующей имеем выступ (ребро), который плотно вставляется в указанный желобок. Тогда вдоль этой образующей будут зафиксированы две степени свободы нормальные и продольные касательные перемещения точек боковой поверхности обращаются в нуль, а касательные перемещения вдоль самой образующей возможны. Можно, разумеется, и наоборот, чтобы желобок вдоль образующей был на втулке, а выступ (ребро) — вдоль соответствующей образующей боковой поверхности оболочки. Очевидно, по-прежнему предполагается, что выступ плотно вставляется в желобок и они являются в достаточной мере жесткими. [c.253] Наконец, следует заметить, еще одно важное обстоятельство. Разрешимость рассматриваемых задач регулируется простыми критериями при т=1 и /те 1, которые зависят исключительно от топологической структуры оболочки. В случае же /ге=1 (оболочка с двумя отверстиями), кроме топологической структуры, на разрешимость этой задачи влияют также конфигурации отверстий. При одних конфигурациях однородная задача не будет иметь ненулевых решений, а при других она имеет по одному линейно независимому решению. [c.253] Этот факт, очевидно, несколько усложняет геометрические и механические свойства оболочек с двумя отверстиями. [c.253] Для любой гармонической функции Uq (х, у) формула (2.45) дает решение уравнения (2.44). Эта формула применима к любой звездной области D относительно точки z—0 — начала координат плоскости Е комплексной переменной z = a - iy = tg- -e . [c.256] Условно будем называть северным полюсом на сфере точку ф=0, соответствующую точке z=0 на плоскостиТЯ. Тогда бесконечно удаленной точке z— o плоскости соответствует на сфере южный полюс ф= —п. При помощи формулы (2.45) можно построить любое регулярное в области D решение уравнения (2.44). [c.256] Таким образом, если и (г, 2) — решение уравнения (2.40), то функция щ (г, С), определенная формулой (2.59), представляет решение уравнения (2.58). [c.259] Рассмотрим однородное уравнение (2.44). Тогда имеем если и (z, г) — решение однородного уравнения (2.44), то функции U и и, определенные формулами (2.59) и (2.60), представляют решения того же уравнения. [c.260] Из этих формул получим второе из равенств (2.63). [c.260] Выше мы доказали, что однородное уравнение вида (2.44) не имеет регулярного на сфере 8 решения, пример функции (2.64) показывает, что существует кусочно регулярное на 5 непрерывное решение этого уравнения. [c.261] Обозначим Si и 5 полусферы, которые отображаются соответственно на внутренность и внешность единичного круга z 1 плоскости Е комплексной переменной z=x- -iy. Очевидно, e jpi точка Р 5ц то Р 5j, так как их комплексные коордсгааты С и —расположены соответственно внутри круга z С1 и вне его. [c.261] Следовательно, , d , и d . — заданные числа. [c.263] Вернуться к основной статье