ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Фазовый переход из "Точно решаемые модели в статической механике " Это соотношение можно использовать для построения графика зависимости Н от М для — 1 М 1. Затем график, конечно, можно перевернуть, чтобы получить зависимость М от Н, Если qJ кТ, то результирующая кривая подобна показанной на рис. 1.1, в, т. е. это типичный высокотемпературный график, указывающий на отсутствие спонтанной намагниченности. [c.50] Источником этого противоречия является утверждение, предшествовавшее (3.1.12). Дело в том, что, когда qJ кТ, правая часть (3.1.11) не является монотонно убывающей функцией л, а ведет себя так, как это представлено на рис. 3.2. [c.50] Если поле Н достаточно мало, то уравнение с1 = 1 имеет три решения, как показано на рис. 3.2. Это означает, что функция имеет два максимума (рис. 3.3). Вместе с разделяющим их минимумом они соответствуют трем решениям уравнения (3.1.18) для М. Если Н — положительная (отрицательная) величина, то левый (правый) пик больше. [c.50] Значения критических показателей (3.3.4), (3.3.8), (3.3.11) и (3.4.4) такие же, как для жидкости ван дер Ваальса, обсуждавшейся в разд. 1.10, т. е. они имеют классические значения. [c.54] Так как каждый спин взаимодействует в равной степени со всеми остальными, корреляции не зависят от расстояния кроме того, две физически оазделенные базы не могут сосуществовать в данной модели. Таким образом, критические показатели /, г и /х не могут быть определены. [c.54] Здесь р — плотность, т. е. среднее число частиц на узел. Она должна лежать в пределах О р 1. [c.54] Еще одна простая модель, которая может быть решена точно, — это модель Изинга (или любая модель с взаимодействием между ближайшими соседями) на решетке Бете. Так же как и модель среднего поля, она эквивалентна приближенному рассмотрению некоторой модели, допустим, на квадратной или кубической решетке [53]. Но она может быть определена как точно решаемая модель, и это как раз то, что мы собираемся сделать. [c.55] Рассмотрим граф, который строится следующим образом выбираем произвольно центральную точку О, добавляем еще д точек и каждую из них соединяем с центральной точкой. Назовем эту совокупность д точек первой оболочкой . Последующие оболочки строим, беря точку на оболочке г и соединяя ее с (7 — 1 новыми точками. Проделаем эту операцию со всеми точками оболочки г и назовем всю совокупность новых точек оболочкой / -I- 1. [c.55] Точки на оболочке п будем называть граничными точками. Они исключительны в том смысле, что каждая из них имеет только одного соседа, в то время как все остальные точки (внутренние точки) имеют д соседей каждая. [c.55] Такой граф не содержит замкнутых путей и известен под названием дерево Кейли . Для наших целей его можно рассматривать как регулярную решетку с координационным числом q (т.е. каждый узел имеет q с.осе-дей) при условии, что можно не учитывать граничных узлов. [c.56] Иначе говоря, если мы построим модель Изинга на полном дереве Кейли, то статистическая сумма Z будет включать вклады как от внутренних узлов, так и от узлов, расположенных на границе. Этот последний вклад не является пренебрежимо малым даже в термодинамическом пределе. [c.56] Если рассматривать полную статистическую сумму, то мы приходим к модели Изинга на дереве Кейли . Эта задача была решена [77, 172, 203], и оказалось, что она имеет весьма необычные свойства. Тем не менее мы не будем рассматривать эту задачу. Вместо этого мы рассмотрим только вклад в Z, происходящий от узлов, лежащих глубоко внутри графа, т. е. от решетки Бете. [c.56] Как-то мотивировать сделанный выбор можно, рассматривая разложения в ряд статистической суммы. Если произвести низкотемпературное разложение для любой регулярной решетки подобно тому, как это сделано в разд. 1.8, то для вычисления членов до второго порядка включительно нужно знать только такие характеристики решетки, как число узлов и координационное число. В третьем порядке уже потребуется число треугольников на решетке, в четвертом — число тетраэдров (т. е. кластеров, состоящих из четырех связанных узлов) и других высокосвязных четырехточечных графов и т. д. Интересен простой случай, когда замкнутые цепочки узлов отсутствуют и поэтому нет треугольников, тетраэдров и т. п. Тогда мы получаем модель Изинга на решетке Бете, как мы ее здесь определили. [c.56] Вернемся теперь к рассмотрению решетки Бете. В этом случае определяется выражением (4.1.1). Подстановка его в (4.2.1) дает / = оо, так что в этом смысле решетка Бете является бесконечномерной . [c.57] Рассмотрим модель Изинга на полном дереве Кейли (ниже мы отбросим члены, связанные с граничными узлами, и возвратимся к решетке Бете). Статистическая сумма дается выражением (1.8.2), т. е. [c.57] если разрезать верхний подграф на рис. 4.1 в точке 1, примыкающей к точке О, то он также распадается на д частей, из которых одна — ствол (О, 1), а остальные — совершенно идентичные ветви. Каждая из этих ветвей представляет собой подграф, аналогичный исходному, но имеющий только п — 1 оболочек. Таким образом. [c.58] Нижеследующее рассмотрение ограничено ферромагнитным случаем А 0. Тогда при изменении дг от О до оо функция у(х) монотонно возрастает от значения ехр ( — Ж) до ехр(2А ). [c.59] Возможны две ситуации либо кривая у = у(х) пересекает линию у = х один раз, либо имеется три пересечения (рис. 4.2). В первом случае точка Р всегда будет монотонно приближаться к точке пересечения А при л — 00, как показано на рис. 4.2,а. Таким образом, как и следовало ожидать, х и М стремятся к некоторому пределу, когда число п становится большим. Это значение представляет собой локальную намагниченность узла, расположенного глубоко внутри дерева Кейли, т.е. намагниченность на узел в решетке Бете. [c.59] Если имеется три точки пересечения, то две внешние (А и С на рис. 4.2,б)являются стабильными предельными точками соотношения (4.3.13), в то время как расположенная между ними точка В нестабильна. Если Pq лежит слева (справа) от В, то Р стремится к А(С). Таким образом, снова Р стремится к пределу, определяющему намагниченность М решетки Бете. [c.60] Нам необходимо какое-то достаточно простое правило выбора одной из двух стабильных точек 4 и С. Граничная ситуация возникает, когда Рд совпадает с точкой В, т. е. когда х = 1 является решением уравнения X = у х). Согласно (4.3.14), это имеет место в том и только в том случае, когда /1 = 0. Если Л О, то Рд лежит слева от В и Р стремится к А. Наоборот, если Л О, то Р стремится к С. [c.60] Вернуться к основной статье