ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Предисловие редактора перевода из "Точно решаемые модели в статической механике " Предлагаемая вниманию читателей книга является монографией, посвященной описанию двумерных решеточных моделей в статистической физике, допускающих аналитическое решение. Анализ свойств решений таких моделей оказался чрезвычайно полезным для понимания поведения сложных реальных систем. Прежде всего следует напомнить о той важнейшей роли, которую исторически сыграло решение Онсагером модели Изинга. Эта модель, которая в пятидесятых годах рассматривалась как некоторая модель ферромагнетизма и интересный объект для математических упражнений, в шестидесятых годах после работ Янга и Ли стала важнейшим источником информации о свойствах фазовых переходов. Начиная с семидесятых годов представления и результаты теории модели Изинга и других двумерных решеточных систем, такие, как скейлинг, универсальность и т. д., стали плодотворно использоваться в теории поля. В самое последнее время указанные представления стали активно использоваться в теории нелинейных динамических систем при описании хаоса. [c.5] Аналитическое решение двумерных моделей, более сложных, чем модель Изинга, потребовало значительных усилий. Но эти усилия оправдываются полученными результатами. В частности, было выяснено на примере восьмивершинной модели, что гипотеза универсальности может нарушаться, а на примере модели жестких гексагонов было показано, что вошедшее в учебники утверждение об отсутствии линии фазовых переходов второго рода при наличии оси симметрии третьего порядка не всегда справедливо. Как восьмивершинная модель, так и модель жестких гексагонов подробно рассмотрены в книге. К сказанному можно добавить, что многие результаты, полученные для двумерных решеточных моделей, могут быть непосредственно применены при рассмотрении ряда реальных систем, например в теории адсорбции, и других двумерных и квазидвумерных систем. [c.5] Книга Р. Бэкстера, несомненно, станет основным цитируемым источником во всех работах, посвященных как собственно статистической теории на решетках, так и ее приложениям. Она будет полезна не только физикам, но также математикам и химикам. [c.6] Эта книга была задумана как небольшая монография, но она заметно разрослась по сравнению с первоначальным замыслом, поскольку в ходе работы над ней я попытался дать полный обзор двумерных моделей в статистической механике и способов их решения. В процессе этой работы я постоянно оказывался перед трудным выбором. С одной стороны, мне вспоминался возглас аспиранта на одной из конференций Но вы же опустили все выкладки — каким образом вы пришли от уравнения (81) к уравнению (82) С другой стороны, я знал по собственному опыту, какое количество бумаги отправляется в мусорную корзину после даже весьма умеренных вычислений было бы совершенно немыслимо опубликовать все эти выкладки в полном объеме. [c.7] Я надеюсь, что достиг разумного компромисса, расставляя указательные знаки вдоль всего маршрута вычислений, но не останавливаясь на каждом отдельном шаге. При этом к каждому рассматриваемому вопросу я старался подходить индивидуально. Например, в разд. 8.13, я довольно детально обсуждаю функции к(а) и (а), поскольку это дает возможность особенно отчетливо показать, как именно используются эллиптические функции в вычислениях. В противоположность этому я просто привожу результат (8.10.9) для антисегнетоэлектрической поляризации в / -модели и отсылаю заинтересованного читателя к оригинальной работе, поскольку вычисления в этом случае длинные и довольно формальные и, по-видимому, рано или поздно будут заменены более простыми, когда предположение (10.10.24) в теории восьмивершинной модели будет проверено методами, подобными тем, которые были использованы при выводе формулы (13.7.21) для намагниченности. [c.7] Аналогичным образом восьмивершинная модель помогла нам понять более сложные системы и все разнообразие поведения, которое может проявляться. Модель жестких гексагонов выглядит довольно экзотически, но и она не нуждается в оправдании, поскольку идеально представляет решеточный газ и может быть сопоставлена с мономолекулярным слоем гелия, адсорбированного на поверхности графита [199]. [c.8] Вероятно, существует также ощущение, что модели слишком усложнены математически. Это возражение также легко снимается Рюэль [202] правильно заметил в предисловии к своей книге, что если задача вообще заслуживает рассмотрения, то никакой математический аппарат не может считаться чрезмерно сложным. [c.8] В заглавии книги слова точно решаемые выбраны с известной осторожностью. Они не обязательно означают строго решаемые . Например, при выводе формулы (13.7.21) производится перемножение и диагонализация бесконечномерных угловых трансфер-матриц. Следовало бы показать, что матричные произведения сходятся. Я не сделал этого, но полагаю, что они действительно сходятся (по крайней мере настолько, чтоб1 1 обеспечить проведение вычислений) и, следовательно, формула (13.7.21) совершенно правильна. [c.8] Разумеется, еще многое должно быть сделано. Б. Маккой и Ж. Перк совершенно справедливо указали мне, что, хотя корреляции в модели Изинга изучены довольно хорошо, почти ничего не известно о корреляциях в восьмивершинной модели и в модели твердых гексагонов. [c.8] Вернуться к основной статье