ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Поверхностные и вытекающие волны на границе из "Акустика слоистых сред " Ниже (в п. 4.4) мы увидим, что это уравнение имеет или два вещественных корня, или не имеет ни одного. [c.91] Поскольку I Vff I = 1, то отражение полное. Этот случай аналогичен полному отражению звуковых волн, рассмотренному в 2, с той лищь разницей, что теперь падающей является поперечная волна, а продольная волна соответствует преломленной звуковой волне. Здесь мы снова, как и в случае звуковых волн, встречаемся с общей закономерностью если на границе задана периодичность процесса в виде ехр (i x), то при к (пространственный период 2я/ меньще длины волны X) в полупространстве к этой периодичности будут припасовываться экспоненциально затухающие (неоднородные) волны. [c.91] ВОЛНЫ в(. В сущности, это те же графики, что и на рис. 4.1, только по оси абсцисс отложено в,, связанноё с d первым из соотнощений (4,16). При sin 0, с,/с, = kj/kt из (4,16) получаем k , т,е. случай полного отражения. Поскольку, согласно (1.59), 2 , то при 0, я/4 будет иметь место полное отражение при всех возможных значениях а (О а 1/2). На рис. 4.3 изображены характерные углы для рассматриваемого здесь случая при различных значениях а углы обмена поляризациями при падении продольной и поперечной волн и граничный угол полного отражения поперечных волн. [c.93] Уц- коэффициент отражения продольной волны, падающей иэ верхней среды, Vjf - коэффициент трансформации той же падаюшей волны в поперечную волну в верхней среде, Wjf -коэффициент возбуждения поперечной волны в нижней среде падаюшей нз верхней среды продольной волной и т.д. тильдой обозначены аналогичные коэффициенты при падении волны из нижней среды. [c.94] Граничные условия (4.23) - (4.26) дают систему четырех линейных уравнений для определения четырех неизвестных и Ф1. Из (4.22) видно, что для определения компонент матрицы 5 достаточно найти решения системы в двух случаях 1 2 = 1, Ф2 = 2 = Ф2 = О и фг = 1.1Р2 1 2 = Ф2=0. [c.95] Равенство (4.36), справедливое при любых параметрах граничащих полупространств, может быть использовано для контроля вычисления коэффициентов отражения и трансформации. Оно является прямым обобщением равенств (4.9), (4.10), доказанных выше для случая отражения от свободной границы. Другие универсальные свойства матрицы рассеяния обсуждаются в 6, см. также [410]. [c.96] При 0 Ф я/2 модуль коэффициента отражения меньше единицы, что можно было ожидать и заранее, поскольку часть энергии уносится от границы поперечной волной. Угол падения звуковой волны 0= ar sin (с/сц) является критическим . При этом 0 = я/2, Z = , F = 1, = О, И = = 2p[p,(l-2 ,i/ i)]- . [c.98] что 1 Fl = 1, т.е. имеет место полное отражение. [c.98] Здесь I — нормальная к границе компонента вектора плотности потока мощности в падающей звуковой волне. Два последних соотношения имеют смысл соответственно только при вещественных значениях 0 и 0,. Когда продольная (поперечная) волна в нижней среде становится неоднородной, величина / (/,) обращается в нуль. Читатель может убедиться, используя формулы (4.42)-(4.46), что во всех случаях соблюдается закон сохранения энергии 1 = 1, + // + На рис. 4.5,а семейство кривых / изображает по Эрджину (см. [351]) зависимость модуля коэффициента отражения У от угла падения при р1/р = 3, Сц/с = 3 для трех случаев при с, 1/с, 1, равном 1,6 (кривая 7), 1,7 (кривая 2) и 1,8 (кривая 5). Кривые// на рис. 4.5/г и кривые III на рис. 4.5,6 для тех же случаев изображают соответственно зависимость (1111) и (/,//) . [c.99] Читатель может убедиться, что при Z О формулы (4.57), (4.58), (4.60) и (4.61) переходят в полученные в п. 4.1 соотношения для случая отражения от свободной границы твердого тела. [c.100] На каждой границе, разделяющей твердые среды, должны выполняться четыре граничных условия (1.70). На границе верхнего слоя непрерывности компоненты Mj смещения не требуется. [c.101] Прямой путь рещения задачи заключается в составлении с помощью всех граничных условий 4я - 1 линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных амплитуд такого же числа волн, включая и отраженную волну, а затем в рещении этой системы методом обращения матриц. Однако более рациональным, как и в случае отражения от системы жидких слоев, рассмотренном в п. 2.5, оказывается другой метод, основанный на использовании рекуррентных формул, связывающих амплитуды волн в соседних слоях. Этот метод, предложенный Томпсоном [525] и уточненный Хаскеллом [384], является частным случаем метода матричного пропагатора [371 В настоящее время матричные методы широко используются, особенно в сейсмологии, в аналитических и численных исследованиях распространения упругих волн в слоистых средах. Ссылки на многочисленные оригинальные работы можно найти в обзорах [21, 537] и монографии [4, гл. 5, 7]. Подробное обсуждение и сопоставление различных вариантов матричного метода исследования упругих волн в слоистых средах проведено Молотковым в монографии [198]. [c.101] Здесь и далее символ [flj, Дг. з. 4] используется для записи диагональной матрицы с элементами i = Д/б//. [c.102] В соотнощення (4.70) должны быть подставлены значения параметров р, f, e . Of, аир, соответствующие /-му слою. Если с /с 1 и sin 0 с1с[, то, согласно (4.63), sin б 1, т.е. 6 комплексная величина. В этом случае удобно положить 6 = тг/2 + /f, sin 0 = h f, os d = -/ sh f и при расчетах пользоваться величиной f. Сказанное выще может быть отнесено и к углу 0,, если с,/с 1. [c.102] Индекс 1 имеют величины, относящиеся к упругому полупространству. [c.103] Важный частный случай пластинки (т.е. однородного упругого слоя) в жидкости детально рассмотрен в монографиях [52, 9-11 . 54, гл. 5 106, гл. 4]. [c.105] Отражение от дискретно-слоистой среды в случае, когда часть слоев является жидкими, может быть проанализировано иа основе полученных выше формул предельным переходом Ду - 0 для соответствующих /. Особенностью перехода к случаю жидкости является то, что не все компоненты матрицы (4.70) стремятся при ду О к определенному значению. Элементы Оц = Сцц, Ji3 = 224 и Ji4 сохраняют зависимость от Q, а пределы sin Q и os Q при Л, оо не существуют. Однако в конечных выражениях (4.79)-(4.83) для коэффициентов отражения и прозрачиости члены, содержащие Q, взаимно уничтожаются и переход к пределу осуществляется беспрепятственно. [c.105] Вернуться к основной статье