ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Уравнения Дайсона и группа мультипликативной перенормировки из "Метод функций Грина в статистической механике " В конкретных вычислениях удобно явно исключить функциональные производные от О по J, введя некоторые новые величины. Для этой цели произведем замену функционального аргумента, рассматривая О ,. . . как функционалы от Ф, а не от J. [c.76] Величины Ж и называются соответственно массовым и поляризационным операторами. Эти названия заимствованы из квантовой теории поля и связаны с тем, что М(х, у) описывает поправку к энергии (массе) частицы за счет взаимодействия с квантовым полем (в теории элементарных частиц — с вакуумом), а (х, у) учитывает эффект поляризации вакуума. Мы увидим, что в электродинамических задачах тензор (х, у) действительно описывает поляризацию среды в самом прямом смысле этого слова. [c.79] Уравнения типа (9.7) и (9.12) были впервые получены Швингером [4] для случая квантовой электродинамики. Совместно с дополнительным условием Лоренца они эквивалентны обычной системе уравнений Максвелла и Дирака (или Шредингера). Аналогичные уравнения в функциональных производных можно получить и для функций Грина более высокого порядка (см. приложение V). [c.80] Эти предположения суть не что иное, как необходимые условия возможности стационарной (или квазистационарной) постановки задачи. Только в этом случае, очевидно, и можно говорить об энергетическом спектре. [c.80] Здесь ср (л , Е) — вспомогательная функция. [c.81] Уравнения типа (9.18), (9.19) дают, по-видимому, наиболее наглядное обоснование идеи о газе квазичастиц, спектр которых может зависеть от температуры. [c.82] Подчеркнем, однако, что фактически эта идея обосновывается в той мере, в какой она вообще справедлива, спектральными теоремами 4, 5. Уравнения типа (9.18), (9Л 9) имеют лишь преимущество большей наглядности. [c.82] В связи со сказанным следует сделать несколько замечаний. [c.82] Во-первых, уравнение (9.18) (и ему подобные) получено без каких бы то ни было предположений о малости взаимодействия, разложимости в ряды и т. п., и интерпретация его основана исключительно на спектральных свойствах функций Грина, т. е. на точных соотношениях. Более того, после установления связи энергетического спектра системы со спектральными свойствами функций Грина ( 5) возможность точно ввести такие формально одночастичные , двухчастичные и т. д. уравнения становится почти тривиальной. [c.82] Во-вторых, задачи на собственные значения типа (9.18), как правило, не эрмитовские. Так, например, диагональные элементы массового, поляризационного и им подобных операторов могут иметь конечные мнимые части. В результате собственные значения Е могут оказаться комплексными (имеет место затухание). Соответственно параду с (9.18), (9.19) и т. д. следует рассматривать и сопряженные с ними уравнения. [c.82] В-четвертых, эффективные волновые уравнения, как правило, нелинейны — массовый и поляризационный операторы сами зависят от и D. [c.83] Наконец, в-пятых, уравнения (9.18) и др. отличаются от обычных задач на собственные значения тем, что параметр Е входит в них нелинейно от Е через М (х, у Е) зависит и сам оператор R. [c.83] Именно последние два обстоятельства не позволяют обычным способом выразить 0 х, у Е), А ( У, Е) и аналогичные им через рещения (9.18), (9.19) и сопряженных с ними уравнений. [c.83] Из уравнений (9.18), (9.19) следует один вывод общего характера. Именно, мы видели в гл. I, что частоты Е, определяющие особые точки функций Грина, не зависят от общего объема системы V ). Следовательно, асимптотически не зависят от объема и операторы в левых частях эффективных волновых уравнений, т. е. и массовый и поляризационный операторы в пределе при V —оо не зависят от V. Отсюда следует, что асимптотически при V — оо объем системы вообще не входит в уравнения для функций Грина, т. е. последние представляют собой интенсивные, а не экстенсивные величины. [c.83] Если G — 8(Х — X ), как это имеет место, например, в /7-представлении в однородной системе, то сказанное относится к коэффициентам при -функЦиях. [c.83] Рассмотрим теперь частный случай, когда фурье-образ массового (или поляризационного и т. д.) операторами (л , у Е) а) не зависит от Е, т. е. М х, у) содержит множитель S (лгр — Уо) задан а priori, т. е. не содержит искомой функции Грина, и в) эрмитов. Разумеется, фактически такая ситуация — во всяком случае, для простейших функций Грина — может иметь место лишь приближенно. Например, так обстоит дело в системах с мгновенным (в частности. [c.83] Заметим, что фактически интеграл по Е берется, вообще говоря, не в бесконечных пределах, а естественно обрывается на верхней и нижней границах спектра. Действительно, - х, Е. г ) = 0, если Е не есть собственное значение (9.18). По этой причине мы не будем впредь указывать пределы интегрирования в соответствующих формулах. [c.85] Для функции Е (7.26) также можно написать эффективное волновое уравнение типа (9.19) и, дословно повторяя все предыдущие рассуждения, получить представление вида (9.34) (притом с тем же самым спектром). Именно, через спектральную функцию для Ес и выражается полевая часть одночастичного статистического оператора. Легко убедиться также, что формулы (9.26), (9.31), (9.32), (9.33) и (9.34) справедливы и при замене дг на произвольные динамические переменные X. [c.88] После введения массового оператора уравнение (7.7) формально превращается в интегродифференциальное уравнение для 0 (х, х У, фактически, однако, для вычисления (х, х ) необходимо так или иначе расцепить цепочку (7.7) ). [c.89] Очевидно, и в этом случае можно ввести эффективное волновое уравнение (9.18) со всеми вытекающими отсюда последствиями. В частности, в указанных выше условиях имеют место билинейное разложение (9.26) и формула (9.31). [c.90] Вернуться к основной статье