ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Плоские изэнтропнческие волны расширения из "Нелинейная динамическая теория упругости " Если d W dm 0, то / (т) имеет тот же знак, что и т, и dF dm О для всех т. [c.58] Эти два типа условий отвечают соответственно увеличению сжатия и растяжения. [c.58] Неравенство (3.17) содержит утверждение, что скорость ударной волны больше характеристической скорости перед ее фронтом и меньше той же скорости за этим фронтом. С течением времени характеристики с обеих сторон сходятся к ударной волне. [c.64] В главе 2 скачок энтропии при переходе через ударную волну расширения, распространяющуюся в неде-фо 5мированной среде, определялся уравнением (2.47). Сразу же видно, что условием положительности [S] является уравнение (3.18). Таким образом, условие механической устойчивости и термодинамическое условие существования ударной волны совпадают. [c.65] В уравнениях (3.21) —(3.28) не предполагается условие суммирования. [c.66] Уравнение (3.27). совпадает с уравнением (3.22), н, следовательно, существует п возможных значений ц, каждое из которых равно соответствующему значению %. Все п значений ц действительны и различны. [c.67] Если lij и гпц зависят только от щ и не зависят явно от / и а, то Uj и ntij являются функциями только от 0 и — в силу уравнения (3.22)—% тоже являются функциями только от 0. Если величина 0 на характеристике постоянна, то постоянна и величина К. [c.68] Если правая часть уравнения (3.21) равна нулю для всех i и если Uj и m j являются функциями только от U , то допустимы п -простых волн, характеристики каждой волны прямые и вдоль каждой прямой все Mi постоянны. [c.68] Если X для некоторой частной простой волны явно зависит от одних только координат (и а, то такую простую волну мы будем называть особой. Когда Uj и niij зависят только от m , на всей особой простой , волне величина X постоянна и характеристики яв- ляются параллельными прямыми линиями. [c.68] Уравнения (3.29) дают -—1 независимых соотноше ний лежду.п неизвестными m , т. е. все зависимые пе ременные щ выражаются через одну из них,—-это и есть определение простой, волны, если не считать ус- ловия совместности. [c.68] Ф22 = Фзз == - . все остальные, фгу = 0. [c.70] ЧТО характеристические скорости остаются действительными и для конечных перемещений в изэнтропической теории. Кроме того, предположим, что в конечной теории характеристические скорости различны, т. е. нет двух равных. Тогда по определению основные уравнения для изэнтропических волн (уравнения (3.20)) являются чисто гиперболическими. До сих пор не было установлено, что эти предположения являют ся ограничительными. Во всех исследованных до настоящего времени примерах, в частности в тех, которые приводятся здесь, эти предположения соблюдаются. В дальнейшем для каждого примера их придется проверять если они не выполняются, то теория простых волн, по крайней мере в той форме, в какой она приведена здесь, не применима. [c.71] По предположению корни к уравнения (3.37) действительны и различны ясно, что они попарно равны по величине и противоположны по знаку. Следовательно, существует шесть возможных типов простых волн, три из которых распространяются в положительном направлении, а три — в отрицательном. Поскольку правая часть уравнения (3.36) равна нулю и элементы матрицы М, т. е. коэффициенты основного уравнения, зависят только от независимых OTiИ неявно от а и все шесть простых волн являются допустимыми характеристики каждой простой волны являются прямыми, и на каждой такой прямой все зависимые переменные Шг и VI постоянны. [c.71] Из уравнений (3.22) и (3.36) величины йи являются правыми собственными векторами сингулярной матрицы М - - %1у т. е. [c.71] С каждой характеристикой, в общем случае определяется пространственным граничным условием. Так же, как и в случае волны расширения, решение типа простой волны, полученное таким образом, с физической точки зрения справедливо до тех пор, пока на плоскости а-1 две прямые линии с постоянными Шг не пересекутся, приводя к образованию ударной волны. Время и место, в которых образуется ударная волна, если она вообще образуется, можно определить (см., например, [1]). [c.73] Поскольку в основные уравнения входят производные от от,, эти уравнения определяют только непрерывные изменения 0. В силу того что скорость волны не зависит от скорости изменения 0, на основании предельного перехода для все более крутых градиентов можно заподозрить, что разрывные изменения 0 распространяются с той же скоростью. Этот вопрос может быть разрешен только на основе теории ударных волн, так как разрывное изменение 0 означает появление ударной волны, и, как мы увидим далее (см. 5.3), такое подозрение оправдывается. [c.75] Переменная дальше не играет никакой роли. [c.76] Члены с коэффициентами Ь, М тл Р сохраняются только для волн, которые являются почти поперечными. [c.78] ИЗ классической теории упругости, а нижний знак приводит к некоторому обобщению для поперечных волн. Рассмотрим оба эти обобщения в отдельности в каждом случае для положительного X. [c.79] Случай 1 обобщенная волна расширения. [c.79] Вернуться к основной статье