ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Представление падающей волны интегралом лад из "Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн Метод эталонных задач " А / иа привела бы к изменению вида остаточных членов в ряде формул. [c.387] Способ построения п. к. сумм (2.3), (2.4) кратко сводится к следующему формальные ряды (2.1), (2.2) подставляем в уравнения (6.5), (6.8), (6.9) главы 2 и требуем, чтобы коэффициенты при последовательных степенях у в обеих частях этих равенств совпадали. Это приводит к рекуррентным соотношениям ме ду Ij, ntj s n], п]. Искомые функции Ij, ту, 3Snj находятся из полученных рекуррентных соотношений и некоторых дополнительных естественных требований. [c.388] Условие (2.13) обеспечивает приближенное выполнение требования (см. конец 1), чтобы лучи, соответствующие каустике 5у(у 0), после отражения опять принадлежали к полю лучей этой же каустики. [c.388] Так как все дальнейшие построения основываются не на точных решениях уравнений (2.9), (2.10), а на частных суммах (2.5) с произвольным конечным числом слагаемых, то указанные выше свойства лучей будут выполниться лишь приближенно с точностью до слагаемых, порядок которых по у при у О определяется числом слагаемых в суммах (2.6). [c.389] Как уже указывалаось ранее, все построения будут проводиться в окрестности Йп кривой С — геометрического места точек касания лучей паДающей волны и поверхности 5. Это связано, в частности, с тем, что поле геодезических, определяющих /o s, при удалении от С может потерять регулярность. [c.389] Перейдем к нахождению следующих коэффициентов разложений (2.5). [c.390] Из равенств (2.22) следует, что по /i s функции k и nti вне 5 определяются однозначно. [c.390] Начальные данные для дифференциального уравнения (2.25) и его аналогов для функций мы найдем (так же как и в случае уравнений (2.15) и (2.19)) из требования, чтобы выражение (2.7) при переходе из полутени в освещенную область становилось асимптотически эквивалентным лучевым разложениям для падающей и отраженной волны. [c.391] Докажем теперь существенную для дальнейших построений лемму. [c.394] Пусть у = у у) — геодезическая линия на 2, проходящая через точку М Су и ортогональная к С. [c.394] Из леммы 1 вытекает простое следствие в стационарной точке. V = М-пад V = Y (AI) экспоненциальный множитель в интеграле (3.5) совпадает с фазовым множителем ехр Тпад(М) падающей волны. [c.395] В силу того, что луч падающей волны, проходящий через точку М, является лучом, соответствующим как эйконалу Тпад, так и эйконалу т , то для совпадения т ад и т на этом луче достаточно, чтобы равенство т ад = т имело место хотя бы в одной точке этого луча и чтобы в этой точке Утпад = Vt . Последние два равенства выполняются в точке, где этот луч касается Sf, т. е. в точке на С . [c.395] Докажем теперь единственность стационарной точки, когда точка М находится в окрестности С. Имеет место следующая лемма. [c.395] Неравенство (3.13) в точках С выполняется в силу обращения М-пад(Л1, 0) в нуль на S, совпадения при y = О кривой Су с С, формулы (3.12) и неравенства (3.4). При М, лежащих вблизи С, и малых Y неравенство (3.13) тоже имеет место, так как входящие в него функции непрерывны. [c.395] Гессиан А в окрестности кривой С и при малых у отрицателен, так как при у = О на С в силу (3.4), (3.7), (3.8), (3.12). [c.396] Вернуться к основной статье