ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Поле поверхностного источника вблизи изогнутой границы неоднородного тела из "Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн Метод эталонных задач " В 2—4 при помощи лучевого метода и его уточнения были получены формулы, описывающие волны, которые испытали большое, но конечное число отражений от границы S, и была исследована эталонная задача для круга. Здесь мы будем рассматривать общий случай задачи (1.1), (1.2). Нам удастся построить асимптотику (со - оо) решения этой задачи вблизи границы S в виде суперпозиции формальных решений уравнения Гельмгольца, построенных в главе 6. Эта суперпозиция составляется по аналогии с формулой (4.28), которая была выведена для волны, распространяющейся вблизи границы круга. Исследование составленной суперпозиции покажет, что при увеличении частоты со или при удалении точки наблюдения от источника из нее в качестве слагаемых выделяются функции Um, найденные в 2, 3 и описывающие волны, которые испытали определенное число отражений. Это обстоятельство может рассматриваться как подтверждение того, что составленная по аналогии с задачей для круга суперпозиция правильно описывает интерференционное волновое поле точечного источника вблизи границы в общем случае. [c.363] Следует, однако, отметить, что строгого математического обоснования формул, полученных в этом параграфе, еще нет. [c.363] Выпишем решения уравнения Гельмгольца, из которых будет составлена линейная суперпозиция, описывающая в общем случае асимптотику решения задачи (1.1), (1.2). [c.363] Напомним, что формулы для свободных членов полиномов От (s, v /). т. е. для am (s, 0 /) = amo (s t), содержали произвольные постоянные dm- В главе 6 мы условились считать эти постоянные нулями, относя соответствующий произвол при построении решений (5.1) к константе, стоящей множителем в формуле (5.1). Таким образом, не зависящая от координат s, v константа, в формуле (5.1), вообще говоря, является функцией / и (О. [c.364] Здесь контур интегрирования Си — отрезок прямой линии, соединяющей точки и to 0. Весовая функция с (со, I), не зависящая от 5 и V, и постоянная /о подлежат определению. [c.365] Подынтегральная функция в (5.6) удовлетворяет уравнению Гельмгольца с точностью до величины порядка щ- з-к/з обращается в нуль при V = 0. Последнее происходит в силу условий (5.2) и (5.3). [c.365] Множитель в формуле (5.9) выбран из соображений размерности. Невыписанные члены разложений убывают не медленнее 1/(в и легко определяются по функциям pmi (s t) и amo(s t), m 3. Новая безразмерная весовая функция p t) уже не зависит от координат источника. Будем предполагать, что p t) не зависит и от частоты со. Это предположение оправдывается следующим образом. Частота могла бы входить в функцию p t) только в безразмерных комбинациях с другими размерными параметрами задачи. Поскольку зависимость от координат источника и точки наблюдения уже выделена, такими параметрами могли бы быть только некоторые интегральные характеристики задачи (например, длина границы S для замкнутых областей). Однако, допустив зависимость функции p t) от интегральных характеристик задачи, мы получили бы противоречие с принципом локальности, утверждающим, что высокочастотная асимптотика волнового поля зависит только от свойств трассы между источником и точкой наблюдения. [c.367] В дальнейшем при исследовании смыкания формулы для волны, распространяющейся в пограничном слое, с формулами геометрической оптики для волн, испытавших различное число отражений, выбор функции p t) в виде (5.13) получит дополнительное обоснование. [c.369] Постоянная O должна быть настолько малой, чтобы вычисленные на концах промежутка интегрирования члены разложений, входящих в формулу (5.10), содержали по-прежнему большой параметр со в отрицательных степенях. Поскольку aio(s 0 /2 и /о постоянная O должна быть по крайней мере меньше 1/12. Можно показать, что при O 1/12 старшие члены разложений будут также содержать возрастающие отрицательные степени щ. (О значении множителя ( ° выборе коэффициента Д см. сноску на стр. 355). [c.369] При определении функций г) и Р г) считаем, что разрез проведен по отрицательной части вещественной оси, 2 О и г Ч О при 2 0. [c.373] Величина (5.27) имеет порядок /з-юв следовательно, при б 1/30 стремится к нулю вместе с 1/ . [c.374] Выражение (5.29) полностью совпадает с формулой (3.33), которая была получена в 3 для нормальной производной волнового поля волны, испытавшей т отражений и распространяющейся вблизи границы 5. [c.375] Модуль подынтегральной функции интеграла Ом (у), при выбранном значении М имеет достаточно резкий максимум на контуре интегрирования вблизи точки / = 0. Это обстоятельство позволяет сравнительно просто протабулировать интеграл Ом у)- Таблицы специальной функции Ом (у) приведены- в Дополнении 4. [c.376] Вернуться к основной статье