ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Волновое поле источника, расположенного на границе круга из "Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн Метод эталонных задач " В предыдущих параграфах мы получили формулы, описывающие многократно отраженные волны в момент их выделения из поверхностной волны. Волны с большим числом отражений, распространяющиеся внутри пограничного слоя, не могут быть описаны полученными формулами. Такие волны, интерферируя друг с другом, порождают поверхностную волну, распространяющуюся в пограничном слое вблизи границы 5. Для описания поверхностной волны следует использовать решения однородного уравнения Гельмгольца, построенные (см. гл. 6) вблизи границы 5. Из этих решений мы должны будем сконструировать такую суперпозицию, которая бы описывала поверхностную волну, распространяющуюся от точечного источника. Вначале мы обратимся к исследованию поверхностной волны в случае круговой границы, когда переменные разделяются и для поверхностной волны может быть построено представление в виде контурного интеграла. Этот интеграл укажет нам конструкцию искомой суперпозиции, описывающей поверхностную волну в общем случае. [c.346] Таким образом, как и в предыдущих главах, мы прежде всего обращаемся к простейшей эталонной задаче, решение которой затем должно быть перенесено на общий случай. [c.346] Решение задачи (4.1), (4.2) проще всего построить методом разделения переменных в виде ряда Фурье по созп(ф — фо), п = О, 1, 2,. .. Для исследования решения при kr- oo ряд Фурье целесообразно преобразовать, используя теорему о вычетах (метод Ватсона), в контурный интеграл ). [c.347] Ряд (4.5) при г р сходится абсолютно, при г = р сходимость ряда (4.5) следует понимать в смысле теории обобщенных функций. [c.347] В дальнейшем будем считать, что фо = О, т. е. что угол ф отсчитывается от источника. [c.348] Первое и третье слагаемые в правой части тождества (4.13) в силу соотношений (4.12) являются функциями нечетными, а второе слагаемое не имеет особенностей на вещественной оси. [c.351] Обозначим подынтегральную функцию интеграла (4.16) через п(/ , Ф,Ч). Чтобы исследовать при ]А р1 1 и А г 1 поведение функции п(г, ф ) на плоскости комплексной переменной %, заменим цилиндрические функции на их равномерную асимптотику. [c.352] Формулы для функций Н 1 кг) и кг) получаются из формулы (4.17) простой заменой у Т + Р) на функции Эйри —Ш1(Г +/ ) и Ш2(7 + ) соответственно. Формулы для производных цилиндрических функций могут быть получены дифференцированием формулы (4.17) и аналогичных ей. Если аргумент функций Эйри достаточно велик (Т г( ) 1), функции Эйри в свою очередь могут быть заменены асимптотическими формулами. Такая замена приводит к обычным дебаев-ским формулам для цилиндрических функций. [c.353] Исследование выражения (4.19) при А г , когда становится возможным заменить функции Эйри их асимптотикой, показывает, что функция п(г, ф ) экспоненциально убывает на контуре С при 0 ф п, и, следовательно, при 0 е ф п — е интеграл (4.16) равномерно сходится. Исследуем быстроту убывания функции п(г, ф ) в окрестности точки = кр. Это позволит установить величину участка контура интегрирования С, существенного при интегрировании. [c.353] При таких значениях 1 ряды (4.21), (4.22) сходятся еще достаточно быстро, так что при оценке функции п (г, ф ), действительно, можно было ограничиться первыми членами приведенных разложений. [c.355] ДЛЯ второго слагаемого. [c.356] Вычисление интегралов gom по методу перевала показывает, что с помощью интегралов gom описываются волны, испытавшие т отражений от границы S. Ниже такое вычисление будет подробно проведено для интеграла goo- По аналогичной схеме вычисляются и интегралы gom, m 1. [c.357] Мы не будем исследовать интеграл Gom, так как в 5 исследование аналогичного интеграла будет выполнено в общем случае неоднородной среды и некруговой границы. Заметим только, что интеграл Gom описывает поверхностную волну, т. е. суммарный эффект волн, для которых число отражений больше или равно М. Выражается интеграл Gom через специальную функцию Gm(y), таблицы которой приведены в Дополнении 4. [c.357] Обратимся к вычислению интеграла goo по методу перевала ). При этом мы получим формулу (4.36), которая была использована в 3 настоящей главы. [c.357] Функции Ф1(г) и Фг(г) имеют вещественные значения только на интервале — г . Их графики при а 2 изображены на рис. 49. [c.358] Рассмотрим вначале уравнение (4.33) и седловую точку Zi. Обратимся к рис. 50. [c.359] При малых значениях разности ф —ео, как следует из вида поправочного члена, обычная схема метода перевала неприменима. Это связано с тем, что при малых ф — во седловая точка Zi расположена вблизи точки z = 1/а, являющейся точкой разветвления фазовой функции i [y(z). Заметим еще, что прямую волну, приходящую на окружность наблюдения в точки, для которых ф ar os-j, (ф — ео 0) также можно получить из интеграла goo(/ , ф), если должным образом его преобразовать. [c.360] Для углов ф, близких к углу ф = фш1п, обычная схема метода перевала неприменима. Здесь следовало бы воспользоваться известной модификацией метода перевала для случая двух близко расположенных седловых точек. После соответствующих вычислений мы получили бы для поля представление, содержащее функцию Эйри v(Z), что полностью согласуется с результатами главы 2. [c.362] Точно так же, вычисляя по методу перевала интегралы gom, можно было бы прийти К выводу, ЧТО первое слагаемое в интегралах gom описывает волну, испытавшую т отражений, прошедшую соответствующую ей каустику и падающую на границу круга, в то время как второе слагаемое — результат отражения этой волны, т. е. начало волны, испытавшей т 1 отражение от границы круга. [c.362] Вернуться к основной статье