ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Некоторые свойства решений канонической системы (2.16) на цикле из "Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн Метод эталонных задач " Уравнение оси k-ro плеча резонатора в построенной системе координат имеет вид = О, qf = 0. [c.269] Все дальнейшие рассмотрения будем вести в первом приближе-НИИ, отбрасывая в разложении (111) все Я, k 3. [c.270] Рассмотрим отражение лучей от поверхности зеркал резонатора. [c.271] Заметим, что явное выражение для матриц отражения уи, даваемое формулами (2.25) и (2.26), определяется специальным выбором систем координат, в которых задаются падающий и отраженный лучи. [c.273] Ввиду того, что в первом приближении отражение лучей от зеркал резонатора описывается линейным преобразованием (2.24), распространение луча в резонаторе может быть описано в виде линейного взаимно однозначного отображения некоторого векторного пространства на себя. [c.273] Пусть матрица четвертого порядка Ш(5) является фундаментальной матрицей канонической системы (2.16), рассматриваемой на к-й стороне при й 1 й, к = 1, 2,. .., Ы, т. е. столбцы ее представляют линейно независимые решения системы уравнений (2.16). [c.274] Неособенная вещественная матрица четвертого порядка Ек осуществляет взаимно однозначное отображение пространства решений канонической системы (2.16), рассматриваемой на к-к стороне /Jv, на себя, т. е. является оператором монодромии. Полагая к = , 2,. .., И, получаем N матриц Ей, причем в силу (2.31) Ек+1 = РкЕкРк и потому собственные числа Х, матрицы Ей не зависят от к. [c.274] Выберем теперь фундаментальные системы решений так, чтобы detriTi(s) = 1, ti = 1, 2.N (это, очевидно, возможно). [c.275] Резонатор называется устойчивым по первому приближению, если при каждом фиксированном Лй(0) II Лй(и) II при П- оо (что согласуется с определением устойчивости по первому приближению замкнутой геодезической, данным в гл. 8). [c.275] Характеристическое уравнение det (Ek — XI) =0 будет возвратным, в чем можно убедиться, повторяя рассуждения 2 главы 8 применительно к данному случаю. [c.275] Компоненты вектора А комплексно сопряжены с компонентами вектора Ай. [c.276] Ф — показателями Флоке. Формулой (2.35) показатели Флоке определяются с точностью до слагаемого кратного 2я. Далее, в 7, выбор ф будет уточнен. [c.276] В следующем параграфе мы остановимся на некоторых свойствах этих решений Флоке, которые потребуются для дальнейших построений. [c.276] В главе 8 в связи с задачей о замкнутой геодезической на римановом многообразии рассматривалась линейная каноническая система 2т уравнений. Установленные там свойства ее решений являются общими свойствами решений всякой линейной гамильтоновой системы уравнений с периодическими коэффициентами. В задаче о многозеркальном резонаторе мы приходим к рассмотрению на замкнутом многоугольнике 1к линейной канонической системы уравнений (2.16) особенностью в этом случае является то, что решения уравнений (2.16) на двух сторонах с общей вершиной должны быть связаны линейным преобразованием (2.24). Однако матрицы отражения оказываются такими, что свойства решений линейных гамильтоновых уравнений с периодическими коэффициентами имеют место и в рассматриваемом случае. [c.277] В дальнейшем нам понадобятся некоторые свойства решений Флоке. Перейдем к их выводу. [c.277] Подробный вывод свойств решений Флоке мы опускаем, чтобы не дублировать здесь 2 главы 8. [c.278] Вернуться к основной статье