ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Задача о собственных функциях трехмерной области из "Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн Метод эталонных задач " Пусть Q — область в трехмерном евклидовом пространстве, ограниченная бесконечно дифференцируемой поверх-ноо.тью 5. [c.257] Мы будем изучать собственные функции задачи (5.1), (5.2), сосредоточенные в окрестности замкнутой геодезической I на поверхности 5. [c.257] Построения, относящиеся к внутренней задаче, легко переносятся на случай внешней задачи (см. конец этого параграфа). [c.257] Здесь /(( )—гауссова кривизна 5 в точке ( , 0). [c.258] Поведение собственных функций при фиксированном п, как следует ожидать, должно быть аналогично поведению собственных функций задачи, рассмотренной в 1—4 при т = I. С другор стороны, при фиксированном у, естественно ожидать, что собственные функции будут вести себя (при п 0) аналогично собственным функциям типа шепчущей галереи (см. гл. 6). Последующие построения оправдывают эти предположения. [c.259] Здесь V — функция Эйри. [c.260] Теперь для отыскания первого приближения к решению осталось найти функцию фо( ) (см. (5.11)) и функцию Ло( , ц) в выражении (5.16) для У а- Найдем эти функции, исходя из условия разрешимости краевых задач для следующих приближений. [c.260] Функция i(s, ц) (см. формулу (5.19)) находится аналогично функции Ло(5, fi) из требования разрешимости краевой задачи для Кз(5, ц, v). К краевой задаче для Vs мы придем сразу, приравняв нулю члены порядка ko . [c.262] Для нахождения Кл +г можно было бы применить обобщенную функцию Грина ), однако здесь удобнее искать Унп+2 методом неопределенных коэффициентов в виде (5.27), при этом все коэффициенты, кроме 1)ол,+2, найдутся. Мы опускаем все эти выкладки. Процесс построения Ун и 6а может продолжаться неограниченно, если отношение показателя Флоке а к я иррационально. [c.263] Так же, как и в предыдущем параграфе, можно показать, что все коэффициенты 6а с нечетными индексами к равны нулю. Этим замечанием мы завершим рассмотрение внутренней задачи (5.1). [c.263] Аналогично задаче (5.1) можно было бы рассмотреть внешнюю задачу для области, находящейся вне области й. Задача эта ставится формально так же, как и задача (5.1), только решение уравнения [А к )и = О ищется в точках, не принадлежащих й. Некоторые дополнительные уточнения, касающиеся постановки внешней задачи, можно было бы сделать так же, как это сделано в 5 главы 6 для плоского случая. [c.263] Для внешней задачи тоже можно построить формальные ря-ды для собственных чисел и функций, только роль функции Эйри V будет играть функция Эйри корни функции и(—/) (или v —t)) заменяются на корни функции 1г)1( ) (или 1г)1( )). [c.263] Яд —полином Эрмита, 1 = и (соответственно = й корень функции Эйри и(—/) (соответственно и (—/)) при краевом условии ы д=0 соответственно = о , кц определяется из уравнения (5.26). [c.264] Для собственных чисел имеет место формула (5.26), где опять / надо заменить на — . [c.264] Выкладки, в результате которых получается формула (5.30), мы опускаем. [c.264] Вернуться к основной статье