ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Собственные функции круга в случае из "Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн Метод эталонных задач " Пусть плоская область 2 ограничена достаточно гладкой кривой 5. Будем считать, что скорость распространения волн в области Q есть достаточное число раз дифференцируемая функция с(х,у). [c.157] которым мы воспользуемся при построении собствен ных функций типа шепчущей галереи, может быть назван ме годом эталонной задачи. По своей основной идее метод эталон ной задачи для уравнения Гельмгольца (уравнения в частных производных) близок к методу эталонного уравнения в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.158] Исходным пунктом метода эталонных задач является изучение поля лучей — экстремалей функционала геометрической оПтики. Следующий шаг состоит в подборе простейшей, допускающей точное решение (например, по методу разделения переменных) эталонной задачи, поле лучей в которой обладает теми же особенностями, что и у исходной задачи. Анализ решения эталонной задачи позволяет выбрать определенную форму искомого разложения решения исходной задачи. Подставляя это разложение в уравнения и краевые условия первоначальной задачи и требуя их (формального) выполнения, можно получить ряд соотношений между коэффициентами этих разложений. Полученные соотношения позволяют найти неизвестные функции, входящие в эти коэффициенты. [c.158] Определяя в разложении решения достаточно большое число членов, можно добиться того, что уравнение и граничные условия будут удовлетворены с заданной наперед точностью. Как уже отмечалось, в некоторых случаях можно строго показать, что возникающее на этом пути разложение для собственных, значений является асимптотическим при - оо. [c.158] В силу того, что метод параболического уравнения тоже дает асимптотику решений дифракционных задач (правда, только главный член), на излагаемый здесь метод можно смотреть как на дальнейшее развитие метода параболического уравнения. [c.158] Этот результат был получен в 3 главы 4 из лучевых соображений. [c.159] Простейшей задачей, в которой условие (2.1) выполнено, является задача (1.1), (1.2) для круга при постоянной скорости распространения волн. Задачу (1.1), (1.2) для круга р = onst (л = г — р) можно считать эталонной задачей для целого класса задач, в которых выполняется условие (2.1). В настоящем параграфе мы построим решения уравнения Гельмгольца, сопзедоточенные вблизи границы круга, и соответствующие им собственные функции типа шепчущей галереи (во всех дальнейших формулах этого параграфа величина р является константой). На примере этой простейшей задачи будет угадан вид асимптотических разложений собственных функций типа шепчущей галереи в общем случае. [c.159] Поскольку нас интересует асимптотика собственных функций при (о- оо, заменим в уравнении (2.3) функцию Бесселя ее асимптотическим разложением. [c.159] Формула (2.8), как это следует из вида поправочного члена, справедлива при 7 I и небольших значениях р. Если найденные значения кр,д подставить в формулу (2.6), то получим асимптотику собственных функций р, д(/, ф). [c.162] Таким образом, асимптотика решений уравнения Гельмгольца, сосредоточенных в пограничном слое, и соответствующих собственных функций имеет вид экспоненты, умноженной на функцию Эйри. Аргументы экспоненты и функции Эйри представляют собой ряды по степеням Коэффициенты этих рядов—полиномы относительно приведенной нормали V. [c.162] Определив структуру асимптотических формул в эталонной задаче, переходим к исследованию общей задачи. [c.162] Вернуться к основной статье