ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Однозначность собственной функции и условия квантования из "Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн Метод эталонных задач " Теперь мы приступаем к выводу важной для дальнейшего формулы для приращения arg ( ое ) на произвольном контуре Г. Будем считать, что на контуре Г выбрано некоторое направление обхода ). Для подсчета приращения arg ( ое ) на Г разобьем Г на достаточно малые дуги, подсчитаем приращение arg ( ое ) на них и полученные результаты сложим. [c.74] Здесь интеграл по лучу А СВ можно было заменить интегралом по дуге ЛОВ с Г в силу того, что контур ЛЛ,СВ можно непрерывно деформировать в контур АОВ. Р1нтеграл по ЛЛ], очевидно, равен нулю векторы dr(dx , dxг. dxз) и п, тг, тз) на А Ах ортогональны. Число бс = 1, если лучи из нормальной конгруэнции, содержащей точку Л, переходят в нормальную конгруэнцию, содержащую В (рис. 13). В этом случае мы будем говорить, что контур Г переходит через каустику согласно с лучами. В случае, если лучи нормальной конгруэнции (а) переходят через каустику в нормальную конгруэнцию (Р), точка Л лежит на конгруэнции (Р), а В на (а), то ес = — 1, и мы будем говорить, что контур Г переходит через каустику противоположно лучам. Выясним, как вычисляется приращение aгg ( ое ) при отражении лучей от границы 5. [c.75] Равенство (3.10) нужно понимать в следующем смысле контур Г можно получить с помощью непрерывной деформации из составного контура, состоящего из i раз повторенного контура Гь 02 раз повторенного контура Гг,. .., f раз повторенного контура Г/. Если j Г О, то следует еще изменить направление, в котором проходится контур Fj-, на противоположное. [c.76] Будем считать, что базисные контуры Га линейно независимы в том смысле, что ни один из них нельзя получить непрерывной деформацией какой-либо линейной комбинации остальных базисных контуров. Тогда в формуле (3.12) числа и можно задавать независимо друг от друга. [c.77] Все сказанное здесь можно повторить и об отражательном индексе /г(Г), который тоже является индексом пересечения (цикла Г и отражающей поверхности). [c.78] Во всех случаях, когда удалось провести методику 1—3, многоэкземплярное пространство оказывалось многомерным тором, а, как хорошо известно, для тора гомологичные контуры можно непрерывной деформацией перевести друг в друга. Как показал В. И. Арнольд [1], в том случае, если число базисных контуров f равно числу измерений пространства, а замыкающиеся конгруэнции лучей образуют / — 1 параметрическое семейство, при некоторых уточняющих предположениях многоэкземплярное пространство обязательно будет многомерным тором. Во всех задачах, которые до сих пор удалось решить, предположения теоремы В. И. Арнольда выполняются. [c.78] Вернуться к основной статье