ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Аналитический характер эйконала х(х, у, z) вблизи каустики из "Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн Метод эталонных задач " Прежде всего выведем некоторые важные для дальнейшего свойства производных вектор-функции г (а, р, т). [c.49] В точке Мо, лежащей на каустике, введем декартову систему координат X, у, г. Пусть плоскость х, у) совпадает с касательной плоскостью к каустике в точке Мо, а ось х направлена по лучу, проходящему через Мо в сторону возрастания т. Выбор направления оси г будет уточнен несколько позже. [c.49] поскольку (г , Гр) = 0 и (г , г ) = 0 (см. гл. 1), то из (3.4) вытекает, что (г , Гр) = 0. Таким образом, векторы г , Гр и г,, взаимно ортогональны, и для выполнения (4.4) необходимо, чтобы один из этих векторов обращался в нуль. Но Гт.=т О и Гр О (см. (4.1) и (4.2)), так что, действительно, г = 0. [c.49] Переходим к выводу уравнений луча и каустики в окрестности точки Мр. [c.49] Для вывода уравнения волнового фронта в окрестности точки Мо нам понадобятся некоторые свойства старших производных вектор-функции г(а, р, т). [c.50] Таким образом, кривая (4.17) имеет начало координат точкой возврата, и ее ветви касаются положительной части оси г. [c.52] Поверхность волнового фронта вблизи каустики получим, двигая кривую (4.17) вдоль линии р = Ро = onst. Из (4.17) следует, что волновые фронты расположены с той стороны каустики, где Z 0. Область z О — это зона тени. [c.52] Доказательство этих формул довольно громоздко и при первом чтении может быть опущено. [c.52] Формула (5.1) указывает на двузначность эйконала как функции от X, у, Z. Это означает, что через каждую точку с той стороны, где Z О, проходят два и только два луча. На луче. [c.52] Здесь 1/р — кривизна нормального сечения каустики вдоль вектора г , рав-ная (Га. Па). п(а, Р)—е в освещенную область ц 0. [c.52] Перейдем к доказательству формул (5.1)—(5.3). Выразим в окрестности точки Мо лучевые координаты а, Р, т через декартовы координаты х, у, г. [c.53] Формулы (5.14), (5.13) и первая из формул (5.10) тождественны с формулами (5.1)—(5.3). [c.55] В следующих параграфах для волнового поля в окрестности каустики будет получена формула, в которую существенным образом входят 1(х,у,г) н 1 х,у,г), поэтому для функций 1 х,у,г) и [х(х,у,г) необходимо указать формулы, удобные для их практического вычисления. [c.55] Вычислим разность Т2 — Т1 и полусумму (Т1+Т2)/2. [c.56] Формулами (5.19) и (5.20) удобно пользоваться, если с=1 (тогда /о, 1 и /2 —просто длины соответствующих линий) и если точки Ml и М2 лежат на линии р = onst. [c.56] Вернуться к основной статье