ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы О позитивных функционалах в линейных нормированных пространствах из "О некоторых вопросах теории моментов " Хо радиуса р. Понятие об окрестности позволяет ввести понятие о пределе последовательности [элементов л понятие о внутренней, граничной и внешней точке множества О С. Е и другие аналогичные понятия. Так же, как обычно определяются ограниченные и неограниченные множества. [c.152] В дальнейшем мы будем рассматривать только лишь функционалы fix), область определения которых G есть линейная система, а следовательно, ОСЕ есть линейное нормированное пространство (подпространство Е). [c.152] Аддитивный функционал f x) называется линейным, если он непрерывен. Легко показать, что линейный функционал fix) является однородным функционалом, т. е. [c.152] Эта величина является наименьшим значением М, при котором выполняется неравенство (1), и называется нормо й в О функционала/(л ) если О = Е, то говорят просто о норме функционала / и пишут / . [c.153] Отправляясь от некоторого фиксированного конуса К, условимся писать х у (л у), если х—у С К х — у есть внутренняя точка К). Легко убедиться в том, что неравенства, определенные таким образом, подчиняются обыкновенным правилам алгебры. Функционал f (х), определенный в линейном подпространстве ОСЕ, содержащем элементы из К, назовем позитивным, если f (х) 0 при х Ь, т. е. х С К. [c.153] Заметим, что каждый аддитивный позитивный функционал f х), определенный во всем Е , является линейным функционалом. Действительно, если/(л) — позитивный аддитивный функционал, то из неравенства х вытекает неравенство/(хХ/( v). С другой стороны, согласно условию 4° конус К содержит некоторую сферу S (Ло, р), т. е. [c.153] Если подпространство G С Е содержит, по крайней мере, один положительный элемент л о 0, то всякий линейный позитивный функционал f х), определенный в О, может быть расширен до линейного позитивного функционала F х), определенного во всем Е. [c.154] Откуда в обоих случаях р(у) = /(x) + iZ 0. [c.155] Если линейное подпространство ОСЕ обладает тем свойством, что множество его единичных элементов е е = 1) находится на положительном расстоянии с1 от /С то любой определенный в О линейный функционал /(д ) может быть расширен до линейного позитивного функционала Е(х), опре-деленногоужевовсемЕ . [c.155] Так как. Ло О и х С то согласно первой теореме функционал 9(х), а с ним и функционал /(х), могут быть рас-ширены до линейного цозитивного функционала Р [х), опреде-ленного во всем Е. [c.156] Если при этом векторы giii— 1, 2,. .. п) линейно независимы то числа (г = 1, 2,. .. га) определяются однозначно вектором х и называются координатами вектора л в базисе Число элементов базиса а,. . gn, легко видеть, не зависит от базиса и называется числом измерений пространства О. [c.156] Действительно, при отображении 1 рассматриваемая сфера За, будучи замкнутым множеством, переходит в некоторое- ограниченное замкнутое множество эвклидового пространства. Но последнее, по теореме Больцано-Вейерштрасса, компактно в себе, а следовательно, компактна в себе и сфера 5о. [c.157] Если 0С — линейное конечно -мерное пространств о, не имеющее общих точек с К (К—замыкание К] кроме точки л = 6, то каждый линейный функционал / (л), о п р ед ел е и н ы й в О, может быть расширен до позитивного функционала/ (л), определенного во всем Е. [c.158] В качестве нормы Z возьмем, например, величину 11-г1 = Цл Ц- з 1 . [c.159] Складывая эти неравенства и принимая во внимание, что ы 9, мы найдем, что X 0. Интересен. только тот случай, когда X О, ибо при X = О из (Н) вытекает, что л = 6. [c.159] Так как элемент и = —и, и) положителен (С/ лежит внутри Л ), то к позитивному функционалу Е(Е) приложима теорема 1. [c.159] Так как F(Z) позитивный функционал, то и аддитивные функционалы /д (х) и (х) являются позитивными функционалами. [c.160] Для дoкaзaтeль tвa теоремы осталось показать, что при указанном способе разложения существует константа С (не зависящая от функционала /), для которой выполняется неравенство (12). [c.160] Кроме того, конус /С должен содержать некоторую сферу. 5(й, р), т. е. [c.160] Вернуться к основной статье