ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Общие теоремы о позитивных функционалах из "О некоторых вопросах теории моментов " Аналогично доказывается это неравенство для случая с 0-В случае с = 0 неравенство (6) имеет место в силу ненегативности в . [c.123] Докажем достаточность условия. [c.124] Из последнего неравенства в силу произвольности е О вытекает (7). Теорема доказана. [c.125] Очевидно, что это определение ненегативной (позитивной) последовательности с является непосредственным обобщением того, которое мы привели в начале главы 1 статьи I. [c.125] В целях дальнейшего покажем, как можно доказать теорему с помощью некоторых геометрических соображений. Без ограничения общности мы можем считать, что все функции Wk t) вещественны, ибо в противном случае мы могли бы перейти от последовательности wk(t)y к последовательности, составленной из вещественных и мнимых частей функций Wk t), к затем соответствующим образом преобразовать последовательность чисел ft . [c.126] Кроме того, будем сперва предполагать, что последовательность wk , а следовательно, и последовательность [си] содержит конечное число, скажем, п членов. [c.126] Обозначим через множество всех точек л = (5о. Sn-i) евклидового пространства п измерений, координаты h ( = 0,. [c.126] Свойство Ь) следует из того, что в качестве a(i) можно взять кусочно постоянную функцию с единственным скачком равным 1 в произвольной точке t. [c.127] Таким образом, наша теорема доказана для, случая конечной последовательности Wk t) с помощью теорем Helly нетрудно от этого случая перейти к случаю бесконечной последовательности, что мы предоставим проделать читателю. [c.129] Определим множество так же, как и при доказательстве теоремы 2 Так же как и раньше будет обладать свойствами а) и Ь), т. е. будет выпуклым коническим, содержащим кривую L множеством. [c.129] Легко видеть, что теоремы 2, 1а—2а, 7 главы 2 статьи I являются частными случаями (с некоторыми небольшими дополнениями) теоремы 2. [c.130] В качестве нового применения теоремы 1 приведем такое предложение [1Ь, 11Ь]. [c.130] Так как в этом неравенстве числа уц все независимы между собой, то оно эквивалентно условию неотрицательности двух форм (14). [c.131] Докажем еще такое предложение [8, 11Ь]. [c.131] Пусть теперь / означает конечный или бесконечный (в одну или обе стороны) замкнутый интервал действительной осн. Пусть по прежнему Е обозначает некоторый ансамбль комплексных функций, определенных на /, а означает веществен ную лийейную оболочку вещественных и мнимых частей функций из Е. [c.133] Звездочку мы будем отбрасывать, если в каждой точке разрыва а функции p(i) выполняется одно из двух условий либо о(а-1-0) —о а — 0) = 0, либо liminf f ( ) = 0. [c.133] Вернуться к основной статье